Координаты и векторы
Основные понятия и операции для решения задач ЕГЭ
📍 Декартова система координат
- Ось OX — абсцисс
- Ось OY — ординат
- Точка: A(x; y)
- Ось OX — абсцисс
- Ось OY — ординат
- Ось OZ — аппликат
- Точка: B(x; y; z)
➡️ Векторы. Основные понятия
Направленный отрезок, имеющий длину и направление
Проекции вектора на оси координат
На плоскости: \(\vec{a} \{a_x; a_y\}\)
В пространстве: \(\vec{a} \{a_x; a_y; a_z\}\)
Расстояние от начала до конца вектора
\( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \) (2D)
\( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \) (3D)
+−× Операции с векторами
📏 Формулы расстояний и углов
На плоскости: \( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \)
В пространстве: \( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2} \)
На плоскости: \( x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_c = \frac{y_1 + y_2}{2} \)
В пространстве: \( z_c = \frac{z_1 + z_2}{2} \)
① Пример 1: Координаты вектора
Даны точки A(2; 3), B(5; 7). Найти координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\).
② Пример 2: Длина вектора
Найти длину вектора \(\vec{a} \{-3; 4\}\).
③ Пример 3: Скалярное произведение
Найти угол между векторами \(\vec{a} \{1; 2\}\) и \(\vec{b} \{3; 1\}\).
📝 Алгоритм решения задач
- Длина вектора
- Скалярное произведение
- Расстояние между точками
✓ Для коллинеарных векторов: \(\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y}\)
✓ Для перпендикулярных векторов: \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)