Множества и логика: теория для ЕГЭ
📚 Основные понятия
Множество
Совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Обозначается заглавными буквами: A, B, C…
Элемент множества
Объект, входящий в состав множества. Обозначается строчными буквами: a ∈ A (а принадлежит А)
Подмножество
Множество, все элементы которого принадлежат другому множеству: A ⊂ B (А является подмножеством B)
Логическое высказывание
Утверждение, которое может быть истинным (1) или ложным (0)
Операции над множествами
Объединение (A ∪ B), пересечение (A ∩ B), разность (A \ B), дополнение (A’)
🔍 Операции над множествами
Объединение A ∪ B
Множество, содержащее все элементы из A и B
Рис. 1: A ∪ B
Пересечение A ∩ B
Множество элементов, принадлежащих и A, и B
Рис. 2: A ∩ B
Разность A \ B
Множество элементов из A, не принадлежащих B
Рис. 3: A \ B
🧩 Логические операции
Конъюнкция (И, ∧)
A ∧ B истинно, когда оба высказывания истинны
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Дизъюнкция (ИЛИ, ∨)
A ∨ B истинно, когда хотя бы одно высказывание истинно
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Отрицание (НЕ, ¬)
¬A истинно, когда A ложно
| A | ¬A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
⚖️ Основные законы
Коммутативность
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
A ∧ B = B ∧ A
A ∨ B = B ∨ A
Ассоциативность
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
Дистрибутивность
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Законы де Моргана
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
🔍 Примеры решения задач
Пример 1: Операции с множествами
Дано: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}
Найти A ∪ B, A ∩ B, A \ B
Решение:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {3, 4}
A \ B = {1, 2}
Пример 2: Законы логики
Упростить выражение: ¬(A ∧ ¬B) ∨ A
Решение:
1. ¬(A ∧ ¬B) ∨ A = (¬A ∨ ¬¬B) ∨ A = (¬A ∨ B) ∨ A
2. (¬A ∨ B) ∨ A = ¬A ∨ A ∨ B = 1 ∨ B = 1
Ответ: 1 (истина)
Пример 3: Законы множеств
Доказать: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Решение (диаграммы Эйлера-Венна):
Рис. 4: Доказательство дистрибутивного закона
Пример 4: Логическая задача
На спортивной базе: каждый либо лыжник, либо сноубордист. 30% лыжников — сноубордисты. Каков процент сноубордистов, которые являются лыжниками?
Решение:
Пусть L — лыжники, S — сноубордисты
L ∩ S = 0.3L
Но L ∩ S = S ∩ L, поэтому процент = 30%
Ответ: 30%