📚 Числа и вычисления
Полный разбор для ЕГЭ по математике
🎯 Важность темы: Задание №1 ЕГЭ проверяет именно эту тему. Это гарантированные баллы, если разобраться с основами. Освоив «Числа и вычисления», вы заложите фундамент для всех остальных заданий.
🔢 1. Классификация чисел
Все числа в математике образуют стройную систему. Запомните главную схему:
Натуральные (ℕ)
1, 2, 3, 4, … — числа для счёта предметов.
Целые (ℤ)
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … — натуральные, им противоположные и ноль.
Рациональные (ℚ)
Числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m/n.
Иррациональные
Бесконечные непериодические десятичные дроби.
🔍 2. Признаки делимости (таблица)
| Делитель | Признак | Пример | Проверка |
|---|---|---|---|
| 2 | Последняя цифра чётная | 124 | 4 — чётное ✓ |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 | 4+2+3 = 9 | 9 ÷ 3 = 3 ✓ |
| 5 | Последняя цифра 0 или 5 | 120 | Последняя цифра 0 ✓ |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 | 2+8+8 = 18 | 18 ÷ 9 = 2 ✓ |
| 10 | Последняя цифра 0 | 450 | Последняя цифра 0 ✓ |
- На 2: «Чётный хвост»
- На 3: «Сумма цифр дружит с тройкой»
- На 5: «Ноль или пятёрка в конце»
📝 3. Примеры заданий из ЕГЭ
Разберём реальные прототипы заданий, которые встречались в ЕГЭ прошлых лет.
Пример 1: Действия с дробями
Базовый уровеньУсловие: Найдите значение выражения:
Показать решение
- Находим общий знаменатель для дробей в скобках: для 12 и 15 это 60.
- Приводим дроби:
7⁄12 = 35⁄60, 4⁄15 = 16⁄60
- Складываем: 35⁄60 + 16⁄60 = 51⁄60 = 17⁄20
- Умножаем на 5⁄11:
17⁄20 × 5⁄11 = 17 × 5⁄20 × 11 = 85⁄220 = 17⁄44
Пример 2: Проценты и последовательное изменение
Практическое применениеУсловие: Цена товара сначала снизилась на 20%, затем ещё на 15%. На сколько процентов всего снизилась цена по сравнению с первоначальной?
Показать решение
Ключевой метод: Работаем через коэффициенты!
- Первое снижение на 20%: остаётся 80% = коэффициент 0,8
- Второе снижение на 15%: остаётся 85% = коэффициент 0,85
- Общий коэффициент изменения: 0,8 × 0,85 = 0,68
- Итоговая цена: 0,68 от первоначальной = 68%
- Снижение: 100% — 68% = 32%