Вероятность и статистика: теория для ЕГЭ
📚 Основные понятия
Случайное событие
Событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания
Вероятность события
Число от 0 до 1, показывающее шанс наступления события
Пространство элементарных событий
Множество всех возможных исходов испытания
Независимые события
События, наступление одного не влияет на вероятность другого
Среднее арифметическое
Сумма всех значений, деленная на их количество: \(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\)
🧮 Основные формулы вероятности
Классическая вероятность
\(P(A) = \frac{m}{n}\)
где \(m\) — благоприятные исходы, \(n\) — все возможные исходы
Вероятность объединения
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B)\)
Условная вероятность
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
Формула Бернулли
\(P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)
где \(k\) — число успехов в \(n\) испытаниях, \(p\) — вероятность успеха
📊 Статистические показатели
Мода
Наиболее часто встречающееся значение в выборке
Медиана
Значение, которое делит упорядоченную выборку пополам
Дисперсия
Мера разброса данных: \(D = \frac{\sum (x_i — \bar{x})^2}{n}\)
Стандартное отклонение
\(\sigma = \sqrt{D}\)
📐 Схемы решения
Дерево вероятностей
Рис. 1: Дерево вероятностей для двух событий
Схема Бернулли
Применяется для серии независимых испытаний с двумя исходами
Рис. 2: Распределение вероятностей по схеме Бернулли
Комбинаторные методы
Правила подсчета вариантов:
Правило суммы
Если A можно выбрать m способами, B — n способами, и A и B не пересекаются, то выбрать A или B можно m+n способами
Правило произведения
Если A можно выбрать m способами, и после каждого выбора A, B можно выбрать n способами, то пару (A,B) можно выбрать m·n способами
🔍 Примеры решения задач
Пример 1: Классическая вероятность
В коробке 5 синих и 3 красных шара. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что он синий?
Решение:
Благоприятные исходы: 5
Все исходы: 5 + 3 = 8
\(P = \frac{5}{8} = 0.625\)
Ответ: 0.625
Пример 2: Формула Бернулли
Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность выпадения орла ровно 3 раза?
Решение:
\(n = 5, k = 3, p = 0.5\)
\(P = C_5^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125\)
Ответ: 0.3125
Пример 3: Условная вероятность
В классе 60% девочек. 30% девочек и 50% мальчиков носят очки. Найти вероятность, что случайно выбранный ученик — девочка, если он носит очки.
Решение:
A = {девочка}, B = {носит очки}
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.6 \cdot 0.3}{0.6 \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.5} = \frac{0.18}{0.18 + 0.2} = \frac{0.18}{0.38} \approx 0.474\)
Ответ: ≈0.474
Пример 4: Статистические показатели
Даны оценки: 4, 5, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 5. Найти среднее, моду, медиану.
Решение:
Упорядочим: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5
Среднее: \(\frac{3·2 + 4·4 + 5·4}{10} = \frac{6+16+20}{10} = 4.2\)
Мода: 4 и 5 (бимодальное распределение)
Медиана: \(\frac{4+4}{2} = 4\) (средние значения)