Тела и поверхности вращения
Цилиндр, конус, шар и их свойства для ЕГЭ по математике
⎍ Общие свойства
Фигура, полученная вращением плоской фигуры вокруг оси
Сечение, проходящее через ось вращения
Всегда содержит ось симметрии тела
Линия, которая при вращении образует боковую поверхность
▭ Цилиндр
Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг его стороны.
- Основания — равные круги
- Образующая (l) = высоте (h)
- Радиус основания (r)
- Боковая поверхность: \( S_{\text{бок}} = 2\pi r h \)
- Полная поверхность: \( S_{\text{полн}} = 2\pi r (r + h) \)
- Объём: \( V = \pi r^2 h \)
△ Конус
Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.
- Основание — круг
- Вершина
- Образующая (l)
- Высота (h)
- Радиус основания (r)
- \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \)
- Боковая поверхность: \( S_{\text{бок}} = \pi r l \)
- Полная поверхность: \( S_{\text{полн}} = \pi r (r + l) \)
- Объём: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
⎍△ Усечённый конус
Тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
- Два основания — круги радиусов R и r
- Образующая (l)
- Высота (h)
- \( l = \sqrt{h^2 + (R — r)^2} \)
- Боковая поверхность: \( S_{\text{бок}} = \pi (R + r) l \)
- Полная поверхность: \( S_{\text{полн}} = \pi [R^2 + r^2 + (R + r) l] \)
- Объём: \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \)
⚫ Шар и сфера
Тело, полученное вращением круга вокруг его диаметра.
- Центр (O)
- Радиус (R)
- Диаметр (d = 2R)
- Площадь сферы: \( S = 4\pi R^2 \)
- Объём шара: \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \)
- Длина окружности: \( C = 2\pi R \)
① Пример 1: Объём цилиндра
Радиус основания цилиндра 5 см, высота 10 см. Найти объём.
② Пример 2: Площадь конуса
Радиус основания конуса 3 см, образующая 5 см. Найти площадь полной поверхности.
③ Пример 3: Объём шара
Диаметр шара 10 см. Найти объём.
📊 Сводка формул
| Тело | Боковая поверхность | Полная поверхность | Объём |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | \( 2\pi r h \) | \( 2\pi r (r + h) \) | \( \pi r^2 h \) |
| Конус | \( \pi r l \) | \( \pi r (r + l) \) | \( \frac{1}{3} \pi r^2 h \) |
| Усечённый конус | \( \pi (R + r) l \) | \( \pi [R^2 + r^2 + (R + r) l] \) | \( \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \) |
| Шар | \( 4\pi R^2 \) (сфера) | \( \frac{4}{3} \pi R^3 \) | |
✓ Для конуса: \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \), где l — образующая
✓ При вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону, получается цилиндр
✓ При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета получается конус