Геометрия: теория для ЕГЭ
📚 Основные понятия
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике: \(c^2 = a^2 + b^2\), где c — гипотенуза
Подобие треугольников
Треугольники подобны, если углы равны, а стороны пропорциональны: \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’}\)
Окружность
Множество точек, равноудаленных от центра. Основные элементы: радиус, диаметр, хорда, касательная
Параллелепипед
Многогранник с шестью гранями, каждая из которых — параллелограмм
Пирамида
Многогранник, основание — многоугольник, боковые грани — треугольники с общей вершиной
📏 Формулы планиметрии
Треугольник
Площадь: \(S = \frac{1}{2}ah\) или \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\)
Теорема косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab\cos\gamma\)
Окружность и круг
Длина окружности: \(C = 2\pi R\)
Площадь круга: \(S = \pi R^2\)
Длина дуги: \(l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}\)
Четырехугольники
Прямоугольник: \(S = ab\)
Параллелограмм: \(S = ah\)
Ромб: \(S = \frac{d_1 d_2}{2}\)
Трапеция: \(S = \frac{a+b}{2}h\)
🧊 Формулы стереометрии
Призма
Объем: \(V = S_{осн} \cdot h\)
Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = P_{осн} \cdot h\)
Пирамида
Объем: \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\)
Цилиндр
Объем: \(V = \pi R^2 h\)
Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = 2\pi R h\)
Конус
Объем: \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\)
Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = \pi R l\), где \(l\) — образующая
Сфера
Объем шара: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\)
Площадь поверхности: \(S = 4\pi R^2\)
📐 Геометрические схемы
Треугольник и его элементы
Рис. 1: Медианы, высоты, биссектрисы треугольника
Окружность и углы
Рис. 2: Центральные и вписанные углы
Прямоугольный параллелепипед
Рис. 3: Диагональ параллелепипеда: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
🔍 Примеры решения задач
Пример 1: Планиметрия
В треугольнике ABC: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Найти площадь треугольника.
Решение (по формуле Герона):
\(p = \frac{5+6+7}{2} = 9\)
\(S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\)
Ответ: \(6\sqrt{6}\)
Пример 2: Окружность
Найти длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 6.
Решение:
Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\)
Длина окружности: \(C = 2\pi r = 2\pi\sqrt{3}\)
Ответ: \(2\pi\sqrt{3}\)
Пример 3: Стереометрия
В прямоугольном параллелепипеде измерения 3, 4 и 12. Найти длину диагонали.
Решение:
\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\)
Ответ: 13
Пример 4: Пирамида
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 6, высота 4. Найти объем.
Решение:
Площадь основания: \(S_{осн} = 6^2 = 36\)
Объем: \(V = \frac{1}{3}S_{осн}h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48\)
Ответ: 48