7.3 Многогранники

⎍ Основные понятия

Многогранник

Тело, ограниченное конечным числом многоугольников (граней)

Элементы многогранника

Грани — многоугольники
Рёбра — стороны граней
Вершины — концы рёбер

Виды многогранников

Выпуклые: все диагонали внутри
Невыпуклые: есть диагонали снаружи

Выпуклый

Невыпуклый

▯ Призма

Многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники с параллельными сторонами, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.

Прямая призма
Боковые рёбра перпендикулярны основаниям
Боковые грани — прямоугольники
\( S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h \)
\( V = S_{\text{осн}} \cdot h \)
Наклонная призма
Боковые рёбра не перпендикулярны основаниям
Боковые грани — параллелограммы
\( V = S_{\text{осн}} \cdot h \)
Правильная призма
Основания — правильные многоугольники
Прямая призма
\( S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h \)

⨋ Пирамида

Многогранник, основание которого — многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной (вершиной пирамиды).

Правильная пирамида

Основание — правильный многоугольник
Вершина проецируется в центр основания
Апофема — высота боковой грани
\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l \)
\( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \)

Усечённая пирамида

Сечение пирамиды плоскостью параллельной основанию
Два подобных основания
Боковые грани — трапеции
\( V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \)

✦ Правильные многогранники (Платоновы тела)

Тетраэдр

▲▲

4 грани (треугольники)
4 вершины
6 рёбер
\( V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 \)
\( S = \sqrt{3} a^2 \)

Куб

□

6 граней (квадраты)
8 вершин
12 рёбер
\( V = a^3 \)
\( S = 6a^2 \)

Октаэдр

⬢⬢

8 граней (треугольники)
6 вершин
12 рёбер
\( V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \)
\( S = 2\sqrt{3} a^2 \)

Додекаэдр

⬠⬠

12 граней (пятиугольники)
20 вершин
30 рёбер
\( V = \frac{15+7\sqrt{5}}{4} a^3 \)
\( S = 3\sqrt{25+10\sqrt{5}} a^2 \)

Икосаэдр

△△

20 граней (треугольники)
12 вершин
30 рёбер
\( V = \frac{5(3+\sqrt{5})}{12} a^3 \)
\( S = 5\sqrt{3} a^2 \)

① Пример 1: Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Высота призмы 10 см. Найти объём.

1.

Площадь основания: \( S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ см}^2 \)

2.

Объём призмы: \( V = S_{\text{осн}} \cdot h = 6 \times 10 = 60 \text{ см}^3 \)

② Пример 2: Площадь пирамиды

Правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания 6 см, апофема 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

1.

Периметр основания: \( P_{\text{осн}} = 4 \times 6 = 24 \text{ см} \)

2.

Площадь боковой поверхности: \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60 \text{ см}^2 \)

③ Пример 3: Объём тетраэдра

Найти объём правильного тетраэдра с ребром 3 см.

1.

Формула объёма: \( V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 \)

2.

\( V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4} \approx 3.18 \text{ см}^3 \)

📊 Сводка формул

Многогранник	Площадь боковой поверхности	Площадь полной поверхности	Объём
Призма	\( S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h \)	\( S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} \)	\( V = S_{\text{осн}} \cdot h \)
Пирамида	\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l \)	\( S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \)	\( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \)
Усечённая пирамида	\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l \)	\( S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_1 + S_2 \)	\( V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \)

✓ Для правильной пирамиды: \( l = \sqrt{h^2 + R^2} \), где R — радиус описанной окружности основания

✓ В правильных многогранниках все рёбра равны, все грани — равные правильные многоугольники

Многогранники

⎍ Основные понятия

▯ Призма

⨋ Пирамида

✦ Правильные многогранники (Платоновы тела)

① Пример 1: Объём прямой призмы

② Пример 2: Площадь пирамиды

③ Пример 3: Объём тетраэдра

📊 Сводка формул

Похожие записи

Геометрия

Вероятность и статистика

Множества и логика