Прямые и плоскости в пространстве
Основные понятия стереометрии для ЕГЭ по математике
↕️ Взаимное расположение прямых
- Лежат в одной плоскости
- Не пересекаются
- Обозначение: \( a \parallel b \)
- Лежат в одной плоскости
- Имеют общую точку
- Образуют угол
- Не лежат в одной плоскости
- Не параллельны и не пересекаются
- Общее расстояние — длина общего перпендикуляра
📐 Взаимное расположение прямой и плоскости
- Не имеет общих точек с плоскостью
- Обозначение: \( a \parallel \alpha \)
- Имеет одну общую точку
- Точка пересечения
- Угол между прямой и плоскостью
- Все точки прямой принадлежат плоскости
- Обозначение: \( a \subset \alpha \)
⎍ Взаимное расположение плоскостей
- Не имеют общих точек
- Обозначение: \( \alpha \parallel \beta \)
- Расстояние между плоскостями постоянно
- Имеют общую прямую — линию пересечения
- Образуют двугранный угол
⊥ Перпендикулярность
Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости
Свойство: Прямая перпендикулярна любой прямой в плоскости
Признак: Если одна плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости
Линейный угол двугранного угла: Угол между перпендикулярами к линии пересечения
∠ Углы в пространстве
| Угол между | Определение | Формула |
|---|---|---|
| Двумя прямыми | Наименьший угол между прямыми | \( \cos \varphi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \) |
| Прямой и плоскостью | Угол между прямой и её проекцией на плоскость | \( \sin \varphi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|} \) |
| Двумя плоскостями | Угол между их нормалями | \( \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \) |
Координатный метод: ввести систему координат
Найти координаты векторов или нормалей
Применить соответствующую формулу
① Пример 1: Перпендикулярность прямой и плоскости
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости BDD₁.
② Пример 2: Угол между скрещивающимися прямыми
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра равны 2. Найдите угол между прямыми SA и BC.
📝 Основные теоремы и признаки
Если прямая параллельна некоторой прямой в плоскости, то она параллельна всей плоскости
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции, перпендикулярна и к самой наклонной
✓ Всегда делайте чертеж, даже схематичный
✓ Используйте векторы и координаты для вычисления углов и расстояний
✓ Помните о свойствах правильных многогранников