Фигуры на плоскости
Основные геометрические фигуры и их свойства для ЕГЭ по математике
△ Треугольник
Основные элементы
- 3 стороны: a, b, c
- 3 угла: α, β, γ
- Высоты: ha, hb, hc
- Медианы, биссектрисы
Свойства
- Сумма углов: α + β + γ = 180°
- Неравенство треугольника: a + b > c
- Соотношение сторон и углов: против большей стороны лежит больший угол
Формулы площади
- \( S = \frac{1}{2} a h_a \)
- \( S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \)
- Формула Герона: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)
- p = (a+b+c)/2 — полупериметр
Остроугольный
◮
Все углы < 90°
Прямоугольный
◣
Один угол = 90°
Теорема Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
Тупоугольный
◢
Один угол > 90°
⬢ Четырёхугольники
Параллелограмм
▱
- Противоположные стороны равны и параллельны
- Противоположные углы равны
- Диагонали делятся пополам
- S = a · ha
Прямоугольник
▭
- Все углы 90°
- Диагонали равны
- S = a · b
- P = 2(a + b)
Ромб
◆
- Все стороны равны
- Диагонали перпендикулярны
- Диагонали — биссектрисы углов
- S = (d1 · d2)/2
Квадрат
□
- Все стороны равны
- Все углы 90°
- Диагонали равны и перпендикулярны
- S = a2
- d = a√2
Трапеция
⏢
- Одна пара параллельных сторон (основания)
- Средняя линия: m = (a + b)/2
- S = (a + b)/2 · h
⭕ Окружность и круг
Основные элементы
- Центр — O
- Радиус — r
- Диаметр — d = 2r
- Длина окружности: \( C = 2\pi r = \pi d \)
- Площадь круга: \( S = \pi r^{2} \)
Углы в окружности
- Центральный угол: равен дуге, на которую опирается
- Вписанный угол: \( \alpha = \frac{1}{2} \cup AB \)
- Угол между хордами: \( \beta = \frac{1}{2} (\cup AC + \cup BD) \)
Касательная и секущая
- Касательная перпендикулярна радиусу
- Теорема: \( AB^{2} = AC \cdot AD \)
O
r
d=2r
\( C = 2\pi r \)
\( S = \pi r^2 \)
\( S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^2 \)
① Пример 1: Площадь треугольника
Найти площадь треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см.
1.
Найдем полупериметр: \( p = \frac{5+6+7}{2} = 9 \)
2.
Применим формулу Герона:
3.
\( S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} \)
4.
\( S = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14.7 \text{ см}^2 \)
② Пример 2: Площадь трапеции
Основания трапеции равны 8 см и 12 см, высота 5 см. Найти площадь.
1.
Формула площади трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)
2.
Подставим значения: \( S = \frac{8+12}{2} \times 5 \)
3.
\( S = \frac{20}{2} \times 5 = 10 \times 5 = 50 \text{ см}^2 \)
③ Пример 3: Углы в окружности
Вписанный угол опирается на дугу 80°. Найти величину угла.
1.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается
2.
\( \alpha = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ \)
📝 Сводка формул площадей
| Фигура | Площадь | Периметр |
|---|---|---|
| Треугольник | \( S = \frac{1}{2}ah \) | P = a+b+c |
| Прямоугольник | S = a·b | P = 2(a+b) |
| Параллелограмм | S = a·ha | P = 2(a+b) |
| Ромб | \( S = \frac{d_1 d_2}{2} \) | P = 4a |
| Квадрат | S = a2 | P = 4a |
| Трапеция | \( S = \frac{a+b}{2} h \) | P = a+b+c+d |
| Круг | S = πr2 | C = 2πr |
✓ Всегда рисуйте схематичный чертеж перед решением задачи
✓ Проверяйте единицы измерения (см, м и т.д.)
✓ Помните, что высота треугольника — перпендикуляр к основанию