6.1 Описательная статистика

📊 Основные понятия

Выборка

Набор данных, собранных для анализа.

Пример: Оценки класса: 4, 5, 3, 4, 5, 5, 4

Объем выборки (n)

Количество элементов в выборке.

Для примера выше: n = 7

Вариационный ряд

Упорядоченная по возрастанию выборка.

3, 4, 4, 4, 5, 5, 5

∅ Среднее арифметическое

Сумма всех значений, деленная на их количество.

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]

3

4

5

4.14

Пример расчета: (3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5) / 7 = 30 / 7 ≈ 4.14

◼ Медиана

Значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные части.

1

Упорядочить данные по возрастанию

2

Если n нечетное: среднее значение

\( Me = x_{\frac{n+1}{2}} \)

3

Если n четное: среднее двух центральных

\( Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \)

3

4

5

Медиана = 4

🔢 Мода

Наиболее часто встречающееся значение в выборке.

Значение	Частота
3	1
4	3
5	3

3 (1)

4 (3)

5 (3)

Моды: 4 и 5 (бимодальное распределение)

↔️ Размах

Разность между максимальным и минимальным значениями.

\[ R = x_{\max} — x_{\min} \]

3

5

R = 5 — 3 = 2

σ Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия

Средний квадрат отклонений от среднего

\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i — \bar{x})^2}{n} \]

Стандартное отклонение

Корень квадратный из дисперсии

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

Пример расчета для значений: 4, 5, 3

1.

Среднее: \( \bar{x} = (4+5+3)/3 = 4 \)

2.

Отклонения: (4-4)=0, (5-4)=1, (3-4)=-1

3.

Квадраты отклонений: 0²=0, 1²=1, (-1)²=1

4.

Дисперсия: \( \sigma^2 = (0+1+1)/3 = 2/3 ≈ 0.67 \)

5.

СКО: \( \sigma = \sqrt{2/3} ≈ 0.82 \)

📝 Пример: Полный анализ выборки

Дано: результаты теста (баллы): 12, 15, 15, 17, 18, 20, 20, 20, 22, 25

Объем выборки (n):

10

Минимум:

12

Максимум:

25

Размах (R):

25 — 12 = 13

Среднее арифметическое:

(12+15+15+17+18+20+20+20+22+25)/10 = 184/10 = 18.4

Медиана:

Упорядоченно: 12,15,15,17,18,20,20,20,22,25 → (18+20)/2 = 19

Мода:

20 (встречается 3 раза)

✅ Алгоритм решения задач

Определить объем выборки (n)
Упорядочить данные по возрастанию
Рассчитать основные меры центральной тенденции:
- Среднее арифметическое
- Медиану
- Моду
Рассчитать меры изменчивости:
- Размах
- Дисперсию и СКО (если требуется)
Проанализировать результаты

✓ Для небольших выборок (n < 30) используйте все меры центральной тенденции

✓ Для асимметричных данных медиана лучше среднего

Описательная статистика

📊 Основные понятия

∅ Среднее арифметическое

◼ Медиана

🔢 Мода

↔️ Размах

σ Дисперсия и стандартное отклонение

📝 Пример: Полный анализ выборки

✅ Алгоритм решения задач

Похожие записи

Геометрия

Вероятность и статистика

Множества и логика