Логика и логические операции
Основы математической логики для ЕГЭ по математике
∧∨ Основные понятия
Предложение, которое может быть истинным (1) или ложным (0).
Пример: «2 + 2 = 4» (Истина), «Земля плоская» (Ложь)
Переменная, которая принимает значение ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).
Обозначение: A, B, C, X, Y, Z
Действие над одним или несколькими высказываниями.
Пример: Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция
¬ Отрицание (НЕ)
Операция, обращающая значение высказывания.
Обозначение: \( \neg A \) или \( \overline{A} \)
Читается: «не A»
| A | ¬A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Пример: A = «Идёт дождь»
¬A = «Дождь не идёт»
∧ Конъюнкция (И)
Операция, истинная только когда оба высказывания истинны.
Обозначение: \( A \land B \)
Читается: «A и B»
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример: A = «Солнце светит», B = «Тепло»
A ∧ B = «Солнце светит и тепло»
∨ Дизъюнкция (ИЛИ)
Операция, ложная только когда оба высказывания ложны.
Обозначение: \( A \lor B \)
Читается: «A или B»
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример: A = «Чай горячий», B = «Кофе горячий»
A ∨ B = «Чай горячий или кофе горячий»
→ Импликация (ЕСЛИ-ТО)
Операция, ложная только когда первое высказывание истинно, а второе ложно.
Обозначение: \( A \to B \)
Читается: «Если A, то B»
| A | B | A → B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример: A = «Идёт дождь», B = «Зонт открыт»
A → B = «Если идёт дождь, то зонт открыт»
⇔ Эквивалентность (ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА)
Операция, истинная когда высказывания равны.
Обозначение: \( A \leftrightarrow B \)
Читается: «A тогда и только тогда, когда B»
| A | B | A ↔ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример: A = «Число чётное», B = «Число делится на 2»
A ↔ B = «Число чётное тогда и только тогда, когда оно делится на 2»
≡ Основные законы логики
① Пример: Определение истинности выражения
Дано: A = 1, B = 0. Найти значение \( (A \to B) \land (B \lor \neg A) \)
✓ Алгоритм решения задач
- Определить логические переменные и их значения
- Построить таблицу истинности при необходимости
- Выполнять операции по порядку, учитывая приоритет:
- Отрицание
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Импликация
- Эквивалентность
- Проверить результат по таблице истинности
- Применить законы логики для упрощения выражений
✓ Для сложных выражений всегда стройте таблицы истинности
✓ Помните, что импликация ложна только в одном случае: 1 → 0