6.2 Вероятность

🎲 Основные понятия

Случайное событие

Событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента.

Пример: Выпадение орла при подбрасывании монеты

Вероятность (P)

Числовая характеристика возможности наступления события.

P(A) = m/n, где m — благоприятные исходы, n — все исходы

Пространство исходов

Множество всех возможных исходов эксперимента.

Для кубика: {1,2,3,4,5,6}

📐 Классическое определение вероятности

Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов:

\[ P(A) = \frac{m}{n} \]

⚄

Пример: Вероятность выпадения чётного числа на кубике

Благоприятные: 2,4,6 → m=3

Все исходы: 1,2,3,4,5,6 → n=6

P = 3/6 = 0.5

∪∩ Теоремы сложения вероятностей

Несовместные события

События, которые не могут произойти одновременно

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

Совместные события

События, которые могут произойти вместе

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B) \]

⨉ Условная вероятность и независимость

Условная вероятность

Вероятность A при условии, что B произошло:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Пример: Вероятность дождя (A) при тучах (B)

Независимые события

События, где наступление одного не влияет на другое:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Пример: Подбрасывание двух монет

🌳 Дерево вероятностей

Графический метод для сложных многоступенчатых экспериментов.

Начало

Орел (0.5)

ОО (0.25)

Решка (0.5)

ОР (0.25)

Решка (0.5)

Орел (0.5)

РО (0.25)

Решка (0.5)

РР (0.25)

Дерево для двух подбрасываний монеты

🔢 Формула Бернулли

Вероятность k успехов в n независимых испытаниях:

\[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( p \) — вероятность успеха, \( q = 1-p \)

Пример: Вероятность выпадения ровно двух орлов при 3 подбрасываниях

1.

\( p = 0.5 \) (вероятность орла)

2.

\( n = 3, k = 2 \)

3.

\( C_3^2 = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 \)

4.

\( P = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 0.375 \)

① Пример 1: Простая вероятность

В корзине 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность вытащить красный шар?

Благоприятные исходы: 5 (красные шары)

Всего исходов: 8 (все шары)

\( P = \frac{5}{8} = 0.625 \)

② Пример 2: Совместные события

Вероятность сдать математику — 0.8, русский — 0.9, оба экзамена — 0.75. Найти вероятность сдать хотя бы один экзамен.

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B) \]

\( P = 0.8 + 0.9 — 0.75 = 0.95 \)

✅ Алгоритм решения задач

Определить случайный эксперимент
Выявить все возможные исходы (n)
Найти благоприятные исходы (m)
Проверить равновозможность исходов
Для сложных задач:
- Построить дерево вероятностей
- Использовать формулы сложения/умножения
- Применить формулу Бернулли для серий испытаний
Рассчитать вероятность по формуле \( P = \frac{m}{n} \)
Проверить, чтобы вероятность была между 0 и 1

✓ Всегда проверяйте совместимость событий (совместные/несовместные)

✓ Для зависимых событий используйте условную вероятность

Теория вероятностей

🎲 Основные понятия

📐 Классическое определение вероятности

∪∩ Теоремы сложения вероятностей

⨉ Условная вероятность и независимость

🌳 Дерево вероятностей

🔢 Формула Бернулли

① Пример 1: Простая вероятность

② Пример 2: Совместные события

✅ Алгоритм решения задач

Похожие записи

Геометрия

Вероятность и статистика

Множества и логика