Применение производной к исследованию функций
↗↘
1. Исследование функции на монотонность
+
\( f'(x) > 0 \) → функция возрастает
—
\( f'(x) < 0 \) → функция убывает
Алгоритм исследования:
- Найти \( f'(x) \)
- Решить \( f'(x) = 0 \) (критические точки)
- Разбить область определения на интервалы
- Определить знак \( f'(x) \) на каждом интервале
Пример: \( f(x) = x^3 — 3x \)
1. \( f'(x) = 3x^2 — 3 = 3(x-1)(x+1) \)
2. Критические точки: \( x = -1, x = 1 \)
\( (-\infty, -1) \)
+
↑ возрастает
\( (-1, 1) \)
—
↓ убывает
\( (1, +\infty) \)
+
↑ возрастает
▲▼
2. Нахождение экстремумов функции
Критические точки — точки, где:
- \( f'(x) = 0 \) (стационарные)
- \( f'(x) \) не существует
Максимум
+
→
—
f'(x) меняет знак с (+) на (-)
Минимум
—
→
+
f'(x) меняет знак с (-) на (+)
Пример: \( f(x) = x^3 — 3x \)
x = -1
максимум
+
→
—
f(-1) = (-1)³ — 3·(-1) = -1 + 3 = 2
x = 1
минимум
—
→
+
f(1) = (1)³ — 3·(1) = 1 — 3 = -2
⇵
3. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
Алгоритм:
- Найти \( f'(x) \)
- Найти критические точки на [a; b]
- Вычислить f(x) в:
- Критических точках
- Концах отрезка: f(a), f(b)
- Выбрать max и min из полученных значений
⚠️ Значения могут достигаться:
- В критических точках
- На концах отрезка
Пример: \( f(x) = x^3 — 3x \) на [-2; 2]
Точка
Значение
Тип
x = -2
f(-2) = -2
Конец отрезка
x = -1
f(-1) = 2
Максимум
x = 1
f(1) = -2
Минимум
x = 2
f(2) = 2
Конец отрезка
Наименьшее значение:
-2
(при x = -2 и x = 1)
Наибольшее значение:
2
(при x = -1 и x = 2)
🧠
4. Схемы для запоминания
Алгоритм исследования
f'(x)
↓
f'(x) = 0
↓
Интервалы
↓
Знаки f’
↓
Монотонность
↓
Экстремумы
Признаки экстремума
+
→
—
Максимум
—
→
+
Минимум