Первообразная и интеграл
Основные понятия для подготовки к ЕГЭ по математике
∫ Что такое первообразная?
Функция \(F(x)\) называется первообразной для \(f(x)\), если выполняется условие:
\[F'(x) = f(x)\]
✓ Производная первообразной равна исходной функции
✓ \(C\) — постоянная интегрирования (может быть любым числом)
Σ Таблица первообразных
| Функция \(f(x)\) | Первообразная \(F(x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(C\) |
| \(k\) (const) | \(kx + C\) |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(a^x\) | \(\dfrac{a^x}{\ln a} + C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x + C\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) |
✓ Для \(x^n\) работает при \(n \neq -1\)
≡ Свойства первообразных
Линейность
\[\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\]
\[\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx\]
Неопределенность
Если \(F(x)\) — первообразная, то \(F(x) + C\) тоже первообразная
▭ Определенный интеграл
Вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
\[\int_a^b f(x) dx = F(b) — F(a) = \left. F(x) \right|_a^b\]
Геометрический смысл:
Площадь под кривой \(y = f(x)\)
на отрезке \([a; b]\)
① Пример 1: Нахождение первообразной
Найти первообразную для \(f(x) = 3x^2 — 4\)
\[F(x) = \int (3x^2 — 4) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} — 4x + C = x^3 — 4x + C\]
② Пример 2: Вычисление интеграла
Вычислить \(\int_0^1 (2x + 1) dx\)
\[F(x) = x^2 + x\]
\[F(1) — F(0) = (1^2 + 1) — (0^2 + 0) = 2 — 0 = 2\]
③ Пример 3: Площадь фигуры
Найти площадь фигуры, ограниченной \(y = x^2\), \(x=0\), \(x=2\)
\[S = \int_0^2 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^2 = \frac{8}{3} — 0 = 2\frac{2}{3}\]
✓ Алгоритм решения задач
- Определить тип задачи:
- Нахождение первообразной → используем таблицу
- Вычисление интеграла → формула Ньютона-Лейбница
- Площадь фигуры → строим график, определяем пределы
- Записать соответствующие формулы
- Аккуратно провести вычисления
- Проверить размерность и правдоподобность ответа