Производная функции. Производные элементарных функций
1. Что такое производная?
lim
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} \]
Производная функции в точке — это мгновенная скорость изменения функции.
Скорость изменения функции
Угловой коэффициент касательной
2. Геометрический смысл производной
△
Производная в точке x₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке:
\[ f'(x_0) = \tan \alpha = k \]
x₀
α
3. Таблица производных элементарных функций
f’
| Функция f(x) | Производная f'(x) |
|---|---|
| \( C \) (константа) | \( 0 \) |
| \( x \) | \( 1 \) |
| \( x^n \) (n ∈ ℝ) | \( n \cdot x^{n-1} \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( a^x \) (a > 0, a ≠ 1) | \( a^x \cdot \ln a \) |
| \( \ln x \) | \( \frac{1}{x} \) |
| \( \sin x \) | \( \cos x \) |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) |
| \( \tan x \) | \( \frac{1}{\cos^2 x} \) |
| \( \arcsin x \) | \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) |
| \( \arctan x \) | \( \frac{1}{1+x^2} \) |
4. Правила дифференцирования
∫
Сумма
\( (u \pm v)’ = u’ \pm v’ \)
Произведение
\( (u \cdot v)’ = u’v + uv’ \)
Частное
\( \left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2} \)
Константа
\( (C \cdot u)’ = C \cdot u’ \)
Сложная функция
\( [f(g(x))]’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
5. Примеры вычисления производных
ex
Пример 1: Найти производную функции \( f(x) = 3x^4 — 2x^2 + 5x — 7 \)
\[ f'(x) = (3x^4)’ — (2x^2)’ + (5x)’ — (7)’ \]
\[ = 3 \cdot 4x^3 — 2 \cdot 2x + 5 \cdot 1 — 0 \]
\[ = 12x^3 — 4x + 5 \]
Пример 2: Найти производную функции \( f(x) = (2x + 1) \cdot \sin x \)
Используем правило произведения: \( (u \cdot v)’ = u’v + uv’ \)
\[ u = 2x + 1, \quad u’ = 2 \]
\[ v = \sin x, \quad v’ = \cos x \]
\[ f'(x) = 2 \cdot \sin x + (2x + 1) \cdot \cos x \]
6. Схемы для запоминания
✓
Алгоритм нахождения производной
1. Определить тип функции
2. Выбрать правило дифференцирования
3. Применить таблицу производных
4. Упростить выражение
Типы функций и их производные
Степенная
→
\( (x^n)’ = nx^{n-1} \)
Показательная
→
\( (a^x)’ = a^x \ln a \)
Тригонометрическая
→
\( (\sin x)’ = \cos x \)