Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сложные проценты
Арифметическая прогрессия (АП)
Определение: Числовая последовательность, где каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину \(d\) (разность прогрессии).
Основные формулы:
Пример 1
Дано: a₁ = 5, d = 3. Найти a₁₀
\[ a_{10} = 5 + 3(10-1) = 5 + 27 = 32 \]
Пример 2
Дано: a₁ = 5, a₁₀ = 32. Найти S₁₀
\[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (5 + 32) = 5 \cdot 37 = 185 \]
Геометрическая прогрессия (ГП)
Определение: Числовая последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число \(q\) (знаменатель прогрессии).
Основные формулы:
Пример 1
Дано: b₁ = 1000, q = 1.1. Найти b₅
\[ b_5 = 1000 \cdot 1.1^{4} = 1000 \cdot 1.4641 = 1464.1 \]
Пример 2
Дано: b₁ = 1000, q = 1.1. Найти S₅
\[ S_5 = 1000 \cdot \frac{1.1^5 — 1}{1.1 — 1} = 1000 \cdot \frac{0.61051}{0.1} = 6105.1 \]
Формула сложных процентов
Основная формула:
Пример 1: Ежегодное начисление
Вклад 50 000₽ под 8% годовых на 10 лет:
\[ A = 50000 \cdot (1 + 0.08)^{10} = 50000 \cdot 2.1589 = 107945₽ \]
Пример 2: Ежеквартальное начисление
Вклад 50 000₽ под 8% годовых (начисление ежеквартально) на 10 лет:
\[ A = 50000 \cdot \left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{40} = 50000 \cdot (1.02)^{40} = 50000 \cdot 2.208 = 110400₽ \]