Последовательности и способы их задания
1. Что такое последовательность?
Последовательность — это функция натурального аргумента:
\[ a_n: \mathbb{N} \to \mathbb{R} \]
Обозначается: \( \{a_n\} = a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \)
a₁
a₂
a₃
…
aₙ
…
2. Способы задания последовательностей
Аналитический
Формула для n-го члена:
\( a_n = f(n) \)
Пример: \( a_n = 2^n \)
{2, 4, 8, 16, …}
{2, 4, 8, 16, …}
Рекуррентный
Через предыдущие члены:
\( a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots) \)
Пример: \( a_1 = 1, \, a_n = 2a_{n-1} + 1 \)
{1, 3, 7, 15, …}
{1, 3, 7, 15, …}
Словесный
Описание словами
Пример: «Чётные числа»
{2, 4, 6, 8, …}
{2, 4, 6, 8, …}
Табличный
Таблица значений:
n
1
2
3
aₙ
5
10
15
3. Основные виды последовательностей
| Тип | Формула | Характеристика | Пример |
|---|---|---|---|
| Арифметическая прогрессия | \( a_n = a_1 + d(n-1) \) | Разность \( d = const \) | 3,7,11,15 (d=4) |
| Геометрическая прогрессия | \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \) | Знаменатель \( q = const \) | 2,6,18,54 (q=3) |
| Бесконечно малая | \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) | Стремится к нулю | \( \frac{1}{n} \): 1,½,⅓→0 |
| Сходящаяся | \( \lim_{n \to \infty} a_n = A \) | Имеет конечный предел | \( 2 — \frac{1}{n} \): 1,1.5,1.67→2 |
4. Свойства последовательностей
Монотонность
↗
Возрастающая:
\( a_{n+1} > a_n \)
\( a_{n+1} > a_n \)
↘
Убывающая:
\( a_{n+1} < a_n \)
\( a_{n+1} < a_n \)
Ограниченность
M
Ограничена сверху:
\( a_n \leq M \)
\( a_n \leq M \)
m
Ограничена снизу:
\( a_n \geq m \)
\( a_n \geq m \)
5. Примеры решения задач
Задача 1: Найти первые 4 члена последовательности \( a_n = \frac{3n-1}{n+2} \)
\( a_1 = \frac{3\cdot1-1}{1+2} = \frac{2}{3} \approx 0.67 \)
\( a_2 = \frac{6-1}{2+2} = \frac{5}{4} = 1.25 \)
\( a_3 = \frac{9-1}{3+2} = \frac{8}{5} = 1.6 \)
\( a_4 = \frac{12-1}{4+2} = \frac{11}{6} \approx 1.83 \)
Ответ: \( \frac{2}{3}, \frac{5}{4}, \frac{8}{5}, \frac{11}{6} \)
Задача 2: Задать рекуррентно геометрическую прогрессию: 5, 10, 20, 40, …
Находим знаменатель: \( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{10}{5} = 2 \)
Рекуррентная формула: \( a_1 = 5, \, a_n = 2 \cdot a_{n-1} \)
Схема: Способы задания последовательностей
Словесный
→
Аналитический
→
Рекуррентный
→
Табличный
Графический способ — визуализация любой последовательности