Точки разрыва, асимптоты и непрерывные функции
1. Классификация точек разрыва
Устранимый разрыв
\(\lim_{x \to a} f(x)\) существует, но:
- \(f(a)\) не равно пределу
- или \(f(a)\) не определена
Пример: \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x — 1} \)
При x=1: предел = 2, но f(1) не определено
При x=1: предел = 2, но f(1) не определено
Разрыв I рода (скачок)
Односторонние пределы существуют, но не равны:
\(\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)\)
Пример: \( f(x) = \begin{cases} x+1, & x \geq 0 \\ x-1, & x < 0 \end{cases} \)
При x=0: левый предел = -1, правый = 1
При x=0: левый предел = -1, правый = 1
Разрыв II рода
Хотя бы один односторонний предел:
- Бесконечен
- Или не существует
Пример: \( f(x) = \frac{1}{x} \)
При x=0: \(\lim_{x \to 0^-} = -\infty\), \(\lim_{x \to 0^+} = +\infty\)
При x=0: \(\lim_{x \to 0^-} = -\infty\), \(\lim_{x \to 0^+} = +\infty\)
2. Виды асимптот
| Тип | Уравнение | Условие нахождения | Пример |
|---|---|---|---|
| Вертикальная | \(x = a\) | \(\lim_{x \to a} f(x) = \infty\) | \(x = 2\) для \(y = \frac{1}{x-2}\) |
| Горизонтальная | \(y = b\) | \(\lim_{x \to \infty} f(x) = b\) | \(y = 0\) для \(y = \frac{1}{x}\) |
| Наклонная | \(y = kx + b\) |
\(k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}\) \(b = \lim_{x \to \infty} [f(x) — kx]\) |
\(y = x\) для \(y = x + \frac{1}{x}\) |
x=a
y=b
y=kx+b
3. Свойства непрерывных на отрезке функций
Теорема Вейерштрасса (ограниченность)
Если f непрерывна на [a;b], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема Вейерштрасса (экстремумы)
f достигает своего наибольшего и наименьшего значений на [a;b].
Теорема Больцано-Коши
Если f(a)·f(b) < 0, то ∃c∈(a;b) такая, что f(c) = 0.
f(a)<0
f(b)>0
Схемы и алгоритмы
Алгоритм исследования функции
1. Область определения
↓
2. Чётность/нечётность
↓
3. Точки разрыва
↓
4. Асимптоты
↓
5. Непрерывность
Классификация разрывов
Разрывы
I рода (скачок)
lim⁻ ≠ lim⁺
II рода
lim⁻ или lim⁺ = ∞
Устранимый
lim существует