Показательная и логарифмическая функции
Показательная функция \( y = a^x \)
Основные свойства:
- Определена для всех x: \( D(y) = \mathbb{R} \)
- Значения всегда положительны: \( E(y) = (0; +\infty) \)
- График проходит через точку (0; 1)
- Нет нулей функции
- При a > 1: возрастает на всей области
- При 0 < a < 1: убывает на всей области
a > 1
0 < a < 1
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \)
Основные свойства:
- Определена только для x > 0: \( D(y) = (0; +\infty) \)
- Принимает все значения: \( E(y) = \mathbb{R} \)
- График проходит через точку (1; 0)
- Вертикальная асимптота: x = 0
- При a > 1: возрастает на всей области
- При 0 < a < 1: убывает на всей области
a > 1
0 < a < 1
Сравнение функций
| Характеристика | \( y = a^x \) | \( y = \log_a x \) |
|---|---|---|
| Область определения | \( (-\infty; +\infty) \) | \( (0; +\infty) \) |
| Область значений | \( (0; +\infty) \) | \( (-\infty; +\infty) \) |
| Характерные точки | (0; 1) | (1; 0) |
| Асимптоты | y = 0 (горизонтальная) | x = 0 (вертикальная) |
| При a > 1 | Возрастает | Возрастает |
Основные формулы и свойства
Показательные
- \( a^{x+y} = a^x \cdot a^y \)
- \( a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \)
- \( (a^x)^y = a^{x \cdot y} \)
- \( a^{-x} = \frac{1}{a^x} \)
Логарифмические
- \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
- \( \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x — \log_a y \)
- \( \log_a (x^b) = b \cdot \log_a x \)
- \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Взаимосвязь показательной и логарифмической функций
Функции \( y = a^x \) и \( y = \log_a x \) являются взаимно обратными:
\( y = a^x \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_a y \)
Их графики симметричны относительно прямой \( y = x \):
(0,1)
(1,0)
Схема свойств
Показательная
D(y) = ℝ
E(y) = (0;+∞)
Через (0;1)
Взаимно обратные
↔
Логарифмическая
D(y) = (0;+∞)
E(y) = ℝ
Через (1;0)