Теория к ЕГЭ: «Целые и дробно-рациональные неравенства»
Простое объяснение для 10-11 класса!
📌 1. Основные понятия
Целое неравенство — неравенство вида: \[ P(x) > 0 \] где \( P(x) \) — многочлен.
Дробно-рациональное неравенство — вида: \[ \frac{Q(x)}{R(x)} > 0 \] где \( Q(x) \) и \( R(x) \) — многочлены.
📈 2. Метод интервалов
Алгоритм решения:
- Привести к виду >0 или <0
- Найти нули числителя и знаменателя
- Отметить точки на числовой прямой
- Определить знаки на интервалах
- Выбрать нужные интервалы
🔢 3. Пример решения
Решим неравенство: \[ \frac{(x-2)(x+1)}{x-3} \geq 0 \]
Нули числителя: \( x=2 \), \( x=-1 \)
Ноль знаменателя: \( x=3 \) (выколотая точка)
Интервалы и знаки:
| Интервал | Знак |
|---|---|
| \( (-\infty; -1) \) | ➖ |
| \( (-1; 2) \) | ➕ |
| \( (2; 3) \) | ➖ |
| \( (3; +\infty) \) | ➕ |
Ответ: \( [-1; 2] \cup (3; +\infty) \)
⚠️ 4. Важные правила
- Точки числителя включаются при нестрогих неравенствах (\( \geq 0 \))
- Точки знаменателя всегда выколоты
- При смене знака неравенства умножением на отрицательное число, знак меняется на противоположный
🧠 5. Схема решения
ДРОБНОЕ НЕРАВЕНСТВО
│
├→ Привести к виду \(\frac{Q(x)}{R(x)} \bowtie 0\)
├→ Найти нули числителя и знаменателя
├→ Отметить на числовой прямой
├→ Расставить знаки (+/-)
└→ Выбрать интервалы
💡 6. Памятка
- Всегда проверяйте ОДЗ знаменателя
- Для \( \frac{A}{B} < 0 \) решаем \( A \cdot B < 0 \)
- Кратные корни влияют на смену знака
✅ 7. Тренировка
Решите неравенство: \[ \frac{(x-3)(x+2)}{x-1} \leq 0 \]
Ответ
\[ [-2; 1) \cup (1; 3] \]