2.4 Показательные и логарифмические уравнения

Теория к ЕГЭ: «Показательные и логарифмические уравнения»

Простое объяснение для 10-11 класса!

🔢 1. Основные понятия

Показательное уравнение — уравнение вида:
\[ a^{f(x)} = b \]
где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \)

Логарифмическое уравнение — уравнение вида:
\[ \log_a f(x) = g(x) \]
где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \)

Свойства логарифмов:

1. \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
2. \( \log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b — \log_a c \)
3. \( \log_a b^c = c \log_a b \)
4. \( a^{\log_a b} = b \)

📊 2. Простейшие уравнения

Ограничения:
— Основание \( a > 0 \), \( a \neq 1 \)
— Подлогарифмическое выражение \( > 0 \)

🧩 3. Основные методы решения

1. Приведение к одинаковому основанию:

4^x = 8^{x-1}
(2^2)^x = (2^3)^{x-1}
2^{2x} = 2^{3x-3}
2x = 3x - 3 → x = 3

2. Замена переменной:

2^{2x} - 5·2^x + 4 = 0
Пусть t = 2^x (t>0)
t² - 5t + 4 = 0 → t₁=1, t₂=4
2^x=1 → x=0; 2^x=4 → x=2

3. Логарифмирование:

x^x = 100
\ln(x^x) = \ln 100
x \ln x = \ln 100
x = e^{W(\ln 100)} ≈ 3.6
(где W — функция Ламберта)

4. Использование свойств логарифмов:

\log_2 (x+1) + \log_2 (x-1) = 3
\log_2 [(x+1)(x-1)] = 3
\log_2 (x^2-1) = 3
x^2-1 = 8 → x=±3
ОДЗ: x>1 → x=3

📈 4. Схема решения

НАЧАЛО
  │
  ├── Шаг 1: Найти ОДЗ
  │   (особенно для логарифмов!)
  │
  ├── Шаг 2: Упростить
  │   (привести к одному основанию,
  │    использовать свойства)
  │
  ├── Шаг 3: Замена переменной
  │   (если нужно)
  │
  ├── Шаг 4: Решить уравнение
  │
  ├── Шаг 5: Проверить корни по ОДЗ
  │
  └── Шаг 6: Записать ответ

⚠️ 5. Частые ошибки

1. Не учитывают ОДЗ логарифмов
2. Путают свойства логарифмов
3. Забывают проверять корни
4. Ошибки при замене переменной
5. Неправильно применяют формулу \( a^{\log_a b} = b \)

Пример ОДЗ:

\[ \log_3 (x-2) + \log_3 (x+2) = 1 \]

ОДЗ:

\[ \begin{cases} x-2>0 \\ x+2>0 \end{cases} → x>2 \]

💡 Памятка для ЕГЭ

• Всегда записывайте ОДЗ!
• Помните: \( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
• Полезные формулы:
  \[ a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \]
  \[ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \]

✅ Тренировка

Решите уравнение:

\[ 2^{x+1} + 2^{x-1} = 20 \]