2.6 Иррациональные неравенства

Теория к ЕГЭ: «Иррациональные неравенства»

Простое объяснение для 10-11 класса!

📌 1. Что такое иррациональное неравенство?

Иррациональное неравенство — неравенство, содержащее переменную под знаком корня:
\[ \sqrt{f(x)} \bowtie g(x) \]
где \( \bowtie \) — один из знаков: \( >, <, \geq, \leq \).

Особенности:
— Подкоренное выражение \( \geq 0 \)
— Если корень чётной степени (\( \sqrt[2k]{…} \)) → результат \( \geq 0 \)

🔢 2. Основные типы и методы решения

Тип 1: \( \sqrt{f(x)} \bowtie g(x) \)

Решение:

1. Найти ОДЗ: \( f(x) \geq 0 \)
2. Рассмотреть два случая:
   • Если \( g(x) < 0 \) → неравенство выполняется автоматически (для \( \sqrt{} > g(x) \))
   • Если \( g(x) \geq 0 \) → возвести в квадрат: \( f(x) \bowtie [g(x)]^2 \)

Тип 2: \( \sqrt{f(x)} \bowtie \sqrt{g(x)} \)

Решение:

1. ОДЗ: \( f(x) \geq 0 \) и \( g(x) \geq 0 \)
2. Возвести в квадрат: \( f(x) \bowtie g(x) \)

📊 3. Алгоритм решения (схема)

ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО
  │
  ├── Шаг 1: Найти ОДЗ (подкоренное выражение ≥ 0)
  │
  ├── Шаг 2: Определить тип неравенства:
  │   ├── Тип A: √f(x) ⋈ g(x)
  │   └── Тип B: √f(x) ⋈ √g(x)
  │
  ├── Шаг 3: Решить полученную систему:
  │   ├── Для Типа A: рассмотреть случаи g(x) < 0 и g(x) ≥ 0
  │   └── Для Типа B: возвести в квадрат
  │
  ├── Шаг 4: Объединить решения с ОДЗ
  │
  └── Шаг 5: Записать ответ

📝 4. Примеры решения

Пример 1: \( \sqrt{2x-4} < x-1 \)

Решение:

1. ОДЗ: \( 2x-4 \geq 0 \) → \( x \geq 2 \)
2. Случай 1: \( x-1 < 0 \) → \( x < 1 \) — не подходит по ОДЗ
3. Случай 2: \( x-1 \geq 0 \) → \( x \geq 1 \): \[ \begin{align*} 2x-4 < (x-1)^2 \\ 2x-4 < x^2 — 2x + 1 \\ 0 < x^2 — 4x + 5 \\ x^2 — 4x + 5 > 0 \end{align*} \] Дискриминант \( D = 16 — 20 = -4 < 0 \) → всегда > 0
4. Ответ: \( x \geq 2 \)

Пример 2: \( \sqrt{x+3} \geq \sqrt{2x-1} \)

Решение:

1. ОДЗ: \( \begin{cases} x+3 \geq 0 \\ 2x-1 \geq 0 \end{cases} \rightarrow x \geq 0.5 \)
2. Возводим в квадрат: \( x+3 \geq 2x-1 \rightarrow x \leq 4 \)
3. Объединяем с ОДЗ: \( 0.5 \leq x \leq 4 \)

⚠️ 5. Частые ошибки

💡 6. Памятка

• Для чётных корней: \( \sqrt[2k]{f(x)} \) определено только при \( f(x) \geq 0 \)
• Результат корня \( \geq 0 \)
• Возводить в квадрат можно только при \( g(x) \geq 0 \)
• Полезная формула:
  \[ \sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < [g(x)]^2 \end{cases} \]

✅ 7. Тренировка

Решите неравенство:

\[ \sqrt{3x-2} \geq x-2 \]