Теория к ЕГЭ: «Тригонометрические уравнения»
Простое объяснение для 10-11 класса!
📐 1. Основные понятия
Тригонометрические уравнения — уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).
Периодичность функций:
| Функция | Период |
|---|---|
sin x, cos x |
2πn |
tg x, ctg x |
πn |
Важно! При решении учитываем периодичность и область определения:
— tg x и ctg x не существуют при x = π/2 + πn
🔢 2. Простейшие уравнения
| Уравнение | Решение | Пример |
|---|---|---|
sin x = a |
x = (-1)ⁿ·arcsin a + πn |
sin x = 0.5 → x = π/6 + 2πn, x = 5π/6 + 2πn |
cos x = a |
x = ±arccos a + 2πn |
cos x = 0 → x = π/2 + πn |
tg x = a |
x = arctg a + πn |
tg x = 1 → x = π/4 + πn |
ctg x = a |
x = arcctg a + πn |
ctg x = √3 → x = π/6 + πn |
Ограничения:
— |a| ≤ 1 для sin x и cos x
— a ∈ ℝ для tg x и ctg x
🧩 3. Основные методы решения
1. Разложение на множители:
2sin x cos x - sin x = 0
sin x (2cos x - 1) = 0
↓
1) sin x = 0 → x = πn
2) 2cos x - 1 = 0 → cos x = 1/2 → x = ±π/3 + 2πn2. Замена переменной:
sin²x - 5sin x + 4 = 0
Пусть t = sin x, |t|≤1
t² - 5t + 4 = 0 → t₁=1, t₂=4 (не подходит)
sin x = 1 → x = π/2 + 2πn3. Однородные уравнения:
Уравнения вида a sin x + b cos x = 0:
— Делим на cos x: a tg x + b = 0 → tg x = -b/a
4. Формулы приведения:
cos(π/2 - x) = sin x
sin(π + x) = -sin x
tg(π - x) = -tg x📊 4. Схема решения сложных уравнений
НАЧАЛО
│
├── Шаг 1: Упростить (формулы, тождества)
│
├── Шаг 2: Замена переменной (если нужно)
│
├── Шаг 3: Разложить на множители
│
├── Шаг 4: Решить простейшие уравнения
│
├── Шаг 5: Отбор корней (если есть ограничения)
│
└── Шаг 6: Записать ответ с периодомФормулы для упрощения:
- Основное тождество:
sin²x + cos²x = 1 - Двойные углы:
sin 2x = 2sin x cos x
cos 2x = cos²x - sin²x - Сумма/разность:
sin a ± sin b = 2sin[(a±b)/2]cos[(a∓b)/2]
⚠️ 5. Частые ошибки
- Забывают период (
+2πn,+πn) - Не учитывают ОДЗ для
tg xиctg x - Путают формулы приведения
- Теряют корни при делении на
cos x/sin x
Пример отбора корней:
Решить: tg x = 1 на [0; 2π]
Решение: x = π/4 + πn
Для n=0: x=π/4
Для n=1: x=5π/4
Для n=2: x=9π/4 > 2π → не подходит
Ответ: π/4; 5π/4💡 Памятка для ЕГЭ
- Всегда проверяйте ОДЗ!
- Используйте тригонометрический круг для проверки
- Запоминайте стандартные решения:
sin x = 0 → x = πn
cos x = 0 → x = π/2 + πn
tg x = 0 → x = πn
✅ Тренировка
Решите уравнение:
\[ 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 \]
Ответ
\[ \begin{align*} 2(1 — \cos^2 x) + 3\cos x &= 0 \\ 2 — 2\cos^2 x + 3\cos x &= 0 \\ 2\cos^2 x — 3\cos x — 2 &= 0 \\ \text{Пусть } t = \cos x: & \\ 2t^2 — 3t — 2 &= 0 \\ t_1 = 2, \ t_2 = -\frac{1}{2} & \\ \cos x = 2 \ \text{(не реш.)} & \\ \cos x = -\frac{1}{2} & \\ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n & \end{align*} \]