1.9 Комплексные числа

Ключевые понятия для ЕГЭ по математике

1. Основные определения

Что такое комплексное число?

Комплексное число — это число вида:

\[ \boxed{z = a + bi} \]

\(a\) — действительная часть (Re z)
\(b\) — мнимая часть (Im z)
\(i\) — мнимая единица (\(i^2 = -1\))

Примеры:
\(3 + 2i\), \(-1 — 4i\), \(5i\) (мнимое число), \(7\) (действительное число)

Комплексная плоскость

Комплексные числа можно изображать на плоскости

Расстояние от начала координат: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

2. Основные операции (таблица)

Операция	Формула	Пример
Сложение	\((a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i\)	\((3+2i) + (1-4i) = 4 — 2i\)
Вычитание	\((a+bi) — (c+di) = (a-c) + (b-d)i\)	\((5+i) — (2+3i) = 3 — 2i\)
Умножение	\((a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\)	\((2+i)(3-2i) = 6 — 4i + 3i — 2i^2 = 8 — i\)
Деление	\(\dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)	\(\dfrac{3+4i}{1-2i} = \dfrac{(3+4i)(1+2i)}{5} = -1 + 2i\)

3. Сопряжённые числа и модуль

Сопряжённое число (\(\overline{z}\))

Для \(z = a + bi\) сопряжённое: \(\overline{z} = a — bi\)

Свойства:

\(z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2\)
\(z + \overline{z} = 2a\)
\(z — \overline{z} = 2bi\)

Пример:
\(z = 3 + 2i\), \(\overline{z} = 3 — 2i\)
\(z \cdot \overline{z} = 9 + 4 = 13\)

Модуль комплексного числа (\(|z|\))

\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) (расстояние от 0)

Свойства:

\(|z| = |\overline{z}|\)
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
\(|z|^2 = z \cdot \overline{z}\)

Пример:
Для \(z = 3 + 4i\):
\(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\)

4. Тригонометрическая и показательная формы

Тригонометрическая форма

\[ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \]

\(r = |z|\) (модуль)
\(\varphi = \arg z\) (аргумент)

Пример:
\(z = 1 + i\)
\(r = \sqrt{2}\), \(\varphi = \pi/4\)
\(z = \sqrt{2} (\cos \pi/4 + i \sin \pi/4)\)

Показательная форма

\[ z = re^{i\varphi} \]

Где \(e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi\)

Преимущества:

Умножение: \(r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}\)
Степень: \((re^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi}\)

Пример:
\(i = e^{i\pi/2}\)
\(i^3 = e^{i3\pi/2} = -i\)

5. Схема работы с комплексными числами

graph TD
    A[Комплексное число] --> B{Форма}
    B --> C[Алгебраическая]
    B --> D[Тригонометрическая]
    B --> E[Показательная]
    C --> F[Сложение/вычитание]
    D --> G[Умножение/деление]
    E --> H[Возведение в степень]

6. Примеры задач ЕГЭ

Задача 1: Найти сумму \((1 + 2i) + (3 — 5i)\)

Решение:
\(4 — 3i\)

Задача 2: Вычислить \((1 + i)^4\)

Решение:
\((1 + i)^2 = 2i\)
\((2i)^2 = -4\)

Задача 3: Решить \(z^2 + 4 = 0\)

Решение:
\(z = \pm 2i\)

7. Важные формулы и свойства

Основные тождества

\(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\)
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
\(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)

Геометрический смысл

Сложение: векторная сумма
Умножение на \(i\): поворот на 90°
Модуль: расстояние от 0

1.9 Комплексные числа