1.8 Преобразование выражений

Ключевые методы для ЕГЭ по математике

1. Основные типы преобразований

Алгебраические выражения

Раскрытие скобок: \(a(b + c) = ab + ac\)
Приведение подобных: \(3x + 2y — x + 4y = 2x + 6y\)
Разложение на множители: \(x^2 — 9 = (x-3)(x+3)\)

Степенные и логарифмические

\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
\(\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c\)
\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)

Тригонометрические

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
\(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
\(\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}\)

2. Формулы сокращённого умножения (таблица)

Формула	Выражение	Пример
Квадрат суммы	\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)	\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\)
Квадрат разности	\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)	\((2x — 1)^2 = 4x^2 — 4x + 1\)
Разность квадратов	\(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\)	\(9 — x^2 = (3 — x)(3 + x)\)
Куб суммы	\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)	\((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)
Куб разности	\((a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\)	\((x — 1)^3 = x^3 — 3x^2 + 3x — 1\)
Сумма кубов	\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\)	\(8 + x^3 = (2 + x)(4 — 2x + x^2)\)
Разность кубов	\(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\)	\(27 — y^3 = (3 — y)(9 + 3y + y^2)\)

3. Алгоритм преобразований

graph TD
    A[Исходное выражение] --> B{Определить тип}
    B --> C[Алгебраическое] --> D["Раскрыть скобки, привести подобные"]
    B --> E[Дробно-рациональное] --> F["Упростить числитель и знаменатель"]
    B --> G[Тригонометрическое] --> H["Применить тождества"]
    B --> I[Логарифмическое] --> J["Использовать свойства логарифмов"]
    D --> K[Разложить на множители]
    F --> L[Сократить дробь]
    H --> M[Упростить до одной функции]
    J --> N[Объединить логарифмы]
    K --> O[Конечный результат]
    L --> O
    M --> O
    N --> O

4. Методы разложения на множители

Основные способы

Вынесение общего множителя:
\(6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\)
Группировка:
\(ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)\)
Формулы сокращённого умножения:
\(x^2 — 16 = (x-4)(x+4)\)
Разложение квадратного трёхчлена:
\(x^2 — 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)

Примеры преобразований

Пример 1:
\(\frac{x^2 — 9}{x^2 — 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2} = \frac{x+3}{x-3}\)

Пример 2:
\(\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 (8 \cdot \frac{1}{2}) = \log_2 4 = 2\)

Пример 3:
\(2 \sin x \cos x — \sin x = \sin x (2 \cos x — 1)\)

5. Примеры задач ЕГЭ

Задача 1: Упростить выражение \(\frac{3x^2 — 12}{x^2 + 4x + 4}\)

Решение:
1. Числитель: \(3(x^2 — 4) = 3(x-2)(x+2)\)
2. Знаменатель: \((x+2)^2\)
3. \(\frac{3(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{3(x-2)}{x+2}\)

Задача 2: Упростить \(2^{x+3} \cdot 3^{x+1} \div (6^x \cdot 4)\)

Решение:
\(= \frac{2^{x+3} \cdot 3^{x+1}}{6^x \cdot 4} = \frac{8 \cdot 2^x \cdot 3 \cdot 3^x}{(2 \cdot 3)^x \cdot 4} = \frac{24 \cdot (2 \cdot 3)^x}{4 \cdot (2 \cdot 3)^x} = \frac{24}{4} = 6\)

6. Схема выбора метода

graph LR
    A[С чего начать?] --> B{Есть скобки?}
    B -->|Да| C[Раскрыть скобки]
    B -->|Нет| D{Есть дроби?}
    D -->|Да| E[Упростить числитель и знаменатель]
    D -->|Нет| F{Есть степени/корни?}
    F -->|Да| G[Применить свойства степеней]
    F -->|Нет| H{Есть тригонометрия?}
    H -->|Да| I[Применить тригонометрические тождества]
    H -->|Нет| J{Есть логарифмы?}
    J -->|Да| K[Упростить логарифмы]
    J -->|Нет| L[Привести подобные]

7. Памятка по преобразованиям

Общие правила

Всегда определяйте ОДЗ (область допустимых значений)
Начинайте с самых «внутренних» частей выражения
Используйте формулы сокращённого умножения
Следите за знаками при раскрытии скобок
Проверяйте результат подстановкой значений

Частые ошибки

\(\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b\)
\(\log_a (b + c) \neq \log_a b + \log_a c\)
\((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\)
\(\sin(a + b) \neq \sin a + \sin b\)
\(\frac{a}{b + c} \neq \frac{a}{b} + \frac{a}{c}\)

1.8 Преобразование выражений