2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения

Ключевые методы решения уравнений для ЕГЭ

1. Основные понятия

Целые уравнения

Уравнения, где обе части — многочлены:

\[ P(x) = 0 \]

Примеры:
• Линейные: \(2x + 5 = 0\)
• Квадратные: \(x^2 — 3x + 2 = 0\)
• Кубические: \(x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = 0\)

Дробно-рациональные уравнения

Уравнения, содержащие дроби с переменной в знаменателе:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \]

Пример:
\(\frac{x+1}{x-2} = 3\)
\(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = 1\)

2. Решение целых уравнений (таблица методов)

Тип уравнения	Метод решения	Пример
Линейное \(ax + b = 0\)	\(x = -\frac{b}{a}\)	\(3x — 6 = 0\) \(x = 2\)
Квадратное \(ax^2 + bx + c = 0\)	Дискриминант: \(D = b^2 — 4ac\) Корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)	\(x^2 — 5x + 6 = 0\) \(D = 1\), \(x_1=2\), \(x_2=3\)
Высших степеней \(P_n(x) = 0\)	• Разложение на множители • Замена переменной • Теорема Безу (подбор корней)	\(x^3 — 3x^2 + 2x = 0\) \(x(x-1)(x-2) = 0\) Корни: 0, 1, 2

3. Решение дробно-рациональных уравнений

Алгоритм решения

Найти ОДЗ (знаменатели ≠ 0)
Перенести все члены в одну сторону
Привести к общему знаменателю
Решить полученное целое уравнение
Проверить корни на соответствие ОДЗ

Пример:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = \frac{5}{6}\)
ОДЗ: \(x ≠ 0\), \(x ≠ 2\)
\(\frac{6(x-2) + 6x}{6x(x-2)} = \frac{5x(x-2)}{6x(x-2)}\)
\(12x — 12 = 5x^2 — 10x\)
\(5x^2 — 22x + 12 = 0\)
\(x_1 = 4\), \(x_2 = 0.6\) (оба в ОДЗ)

Частые ошибки

Не учли ОДЗ → посторонние корни
Потеряли корни при сокращении
Не проверили знаменатели после преобразований

graph TD
    A[Дробно-рациональное уравнение] --> B[Найти ОДЗ]
    B --> C[Привести к общему знаменателю]
    C --> D[Решить числитель = 0]
    D --> E[Проверить корни в ОДЗ]
    E --> F[Записать ответ]

4. Схема выбора метода решения

graph TD
    A[Уравнение] --> B{Есть дроби?}
    B -->|Да| C[Дробно-рациональное]
    B -->|Нет| D[Целое]
    C --> E[Алгоритм с ОДЗ]
    D --> F{Степень}
    F -->|1| G[Линейное]
    F -->|2| H[Квадратное]
    F -->|≥3| I[Высших степеней]
    G --> J["x = -b/a"]
    H --> K["D = b² - 4ac, x = (-b±√D)/2a"]
    I --> L["Разложение на множители, подбор корней"]

5. Примеры задач ЕГЭ

Задача 1: Решить целое уравнение \(x^3 — 4x^2 + x + 6 = 0\)

Решение:
Подбор корней: \(x = -1\)
\((-1)^3 — 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 -4 -1 +6 = 0\)
Деление столбиком: \((x^3 — 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 — 5x + 6\)
\(x^2 — 5x + 6 = 0\) → \(x = 2\), \(x = 3\)
Ответ: \(-1; 2; 3\)

Задача 2: Решить \(\frac{3}{x+2} — \frac{1}{x-1} = 1\)

Решение:
ОДЗ: \(x ≠ -2\), \(x ≠ 1\)
\(\frac{3(x-1) — (x+2)}{(x+2)(x-1)} = 1\)
\(\frac{2x — 5}{x^2 + x — 2} = 1\)
\(2x — 5 = x^2 + x — 2\)
\(x^2 — x — 3 = 0\)
\(D = 13\), \(x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\) (оба в ОДЗ)

6. Памятка по решению

Для целых уравнений

Линейные: изолировать \(x\)
Квадратные: дискриминант
Высших степеней: попробовать разложить на множители
Проверить корни подстановкой

Для дробно-рациональных

ОДЗ — первым шагом!
Общий знаменатель — обязательно
Проверять корни в ОДЗ
Не сокращать до приведения к общему знаменателю

7. Важные формулы

\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{Квадратное уравнение:} \\ ax^2 + bx + c = 0 \\ D = b^2 — 4ac \\ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ \\ \text{Дробное уравнение:} \\ \dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \Rightarrow P(x) = 0, \\ \text{при } Q(x) \neq 0 \end{array} } \]

2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения