1.7 Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений

1.7 Действительные числа. Арифметические операции. Приближённые вычисления

Ключевые понятия для ЕГЭ по математике

1. Действительные числа (\(\mathbb{R}\))

Определение и виды

Действительные числа включают:

Рациональные: \(\mathbb{Q}\) (дроби \(\frac{m}{n}\))
Иррациональные: числа, которые нельзя представить в виде дроби (например, \(\sqrt{2}, \pi, e\))

Числовая ось:

      -∞ … -3.5 -√2 -1 0 0.5 1 √2 2 π 3.5 … +∞
|
|
|
0
|
|
|

        -∞
        -1
        0
        1
        +∞
      

Любое действительное число можно изобразить на числовой прямой

Свойства операций

Свойство	Сложение	Умножение
Коммутативность	\(a + b = b + a\)	\(a \cdot b = b \cdot a\)
Ассоциативность	\((a + b) + c = a + (b + c)\)	\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
Дистрибутивность	\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
Нейтральный элемент	\(a + 0 = a\)	\(a \cdot 1 = a\)

2. Приближённые вычисления и погрешности

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютная погрешность:
\(\Delta x = |x — x_{\text{точн}}|\)

Относительная погрешность:
\(\delta x = \frac{\Delta x}{|x|} \cdot 100\%\)

Пример:
Приближённое значение: \(x = 3.14\)
Точное значение: \(x_{\text{точн}} = \pi \approx 3.1416\)
\(\Delta x = |3.14 — 3.1416| = 0.0016\)
\(\delta x = \frac{0.0016}{3.1416} \cdot 100\% \approx 0.051\%\)

Значащие цифры

Цифры числа, начиная с первой ненулевой:

\(0.00205\) → 3 значащие цифры (205)
\(120.40\) → 5 значащих цифр
\(3.0 \cdot 10^4\) → 2 значащие цифры

Важно: Нули в конце числа после запятой являются значащими!

3. Правила округления

graph TD
    A[Округление числа] --> B{Следующая цифра}
    B -->|Меньше 5| C[Оставить без изменения]
    B -->|5 или больше| D[Увеличить на 1]
    B -->|Ровно 5| E[Округлить до чётной цифры]

Число	Округление до сотых	Правило
\(3.14159\)	\(3.14\)	Следующая цифра 1 < 5
\(2.71828\)	\(2.72\)	Следующая цифра 8 > 5
\(4.73500\)	\(4.74\)	Следующая цифра 5, предыдущая нечётная (3)
\(6.24500\)	\(6.24\)	Следующая цифра 5, предыдущая чётная (4)

4. Прикидка и оценка результата

Прикидка (оценка порядка)

Быстрая оценка результата с помощью округления:

Пример:
Вычислить \(123.4 \times 5.67\)
Прикидка: \(120 \times 6 = 720\)
Точное значение: \(123.4 \times 5.67 = 699.678\)

Оценка погрешности операций

Сумма: \(\Delta (a+b) \approx \Delta a + \Delta b\)
Разность: \(\Delta (a-b) \approx \Delta a + \Delta b\)
Произведение: \(\delta (a \cdot b) \approx \delta a + \delta b\)
Частное: \(\delta (a / b) \approx \delta a + \delta b\)

Пример:
\(a = 10.0 \pm 0.1\), \(b = 2.0 \pm 0.05\)
\(\delta a = 1\%\), \(\delta b = 2.5\%\)
\(\delta (a \cdot b) \approx 1\% + 2.5\% = 3.5\%\)

5. Примеры задач ЕГЭ

Задача 1: Округлите число \(\pi \approx 3.1415926535\) до тысячных и определите абсолютную погрешность.

Решение:
Округление: \(3.142\) (т.к. после 1 стоит 5, а 1 — нечётная)
\(\Delta = |3.1415926535 — 3.142| \approx 0.000407\)

Задача 2: При измерении радиуса круга \(r = 5.0 \pm 0.1\) см найдите относительную погрешность площади.

Решение:
\(S = \pi r^2\), \(\delta S \approx 2 \cdot \delta r\)
\(\delta r = \frac{0.1}{5.0} \cdot 100\% = 2\%\)
\(\delta S \approx 2 \cdot 2\% = 4\%\)

6. Схема вычислений

graph LR
    A[Исходные данные] --> B{Требуется}
    B --> C[Точный результат]
    B --> D[Приближённый результат]
    C --> E[Использовать дроби/корни]
    D --> F[Округлить по правилам]
    F --> G[Оценить погрешность]

7. Правила практических вычислений

При сложении/вычитании округляйте до наименее точного числа
При умножении/делении округляйте до числа с наименьшим количеством значащих цифр
Промежуточные вычисления проводите с 1-2 «запасными» цифрами
Окончательный результат округляйте по правилам