Определение логарифма
Основное логарифмическое тождество и связь с показательной функцией
📚 Основное определение логарифма
Читается: «Логарифм числа b по основанию a равен c тогда и только тогда, когда a в степени c равно b.»
Важно: Основание a должно быть положительным и не равным 1, число b должно быть строго положительным.
🔄 Связь логарифмической и показательной функций
Показательная форма
Основание 2 в степени 3 равно 8
logₐ b = c
Логарифмическая форма
Логарифм 8 по основанию 2 равен 3
aᶜ = b
Основное тождество
8 можно представить как 2³
Основное логарифмическое тождество
🎮 Тренажер: Переход между формами
Запишите это равенство в логарифмической форме:
Десятичные логарифмы
Логарифмы по основанию 10. Обозначение: lg b = log₁₀ b
📚 Что такое десятичный логарифм?
Определение
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.
Обозначение: lg b = log₁₀ b
Определение: lg b = c ⇔ 10ᶜ = b
Примеры:
- lg 10 = 1, так как 10¹ = 10
- lg 100 = 2, так как 10² = 100
- lg 1000 = 3, так как 10³ = 1000
Особые значения
Некоторые значения нужно знать наизусть:
| lg 1 | 0 |
| lg 10 | 1 |
| lg 100 | 2 |
| lg 1000 | 3 |
| lg 0.1 | -1 |
Применение
Где используются десятичные логарифмы?
- Шкала Рихтера (землетрясения)
- Шкала pH (кислотность растворов)
- Шкала децибел (громкость звука)
- Логарифмическая линейка
- Вычисления до изобретения калькуляторов
📊 Логарифмическая шкала: наглядное представление
На логарифмической шкале:
lg 0.1 = -1, lg 1 = 0, lg 10 = 1, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 10000 = 4
Равным отрезкам соответствуют равные отношения чисел, а не равные разности
Натуральные логарифмы
Логарифмы по основанию e. Число e ≈ 2.71828…
📚 Что такое натуральный логарифм?
Определение
Натуральный логарифм — логарифм по основанию e.
Обозначение: ln b = logₑ b
Определение: ln b = c ⇔ eᶜ = b
Число e ≈ 2.718281828459045…
Примеры:
- ln 1 = 0, так как e⁰ = 1
- ln e = 1, так как e¹ = e
- ln(e²) = 2, так как e² = e²
Число e
Что такое число e?
Число e — это основание натуральных логарифмов, математическая константа.
Определения числа e:
1. Предел: e = limn→∞ (1 + 1/n)ⁿ
2. Сумма ряда: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …
3. Единственное число, для которого d/dx(eˣ) = eˣ
Применение
Где используются натуральные логарифмы?
- Математический анализ
- Дифференциальные уравнения
- Теория вероятностей
- Финансовые вычисления (сложные проценты)
- Физика (радиоактивный распад)
- Биология (рост популяций)
📊 Сравнение десятичных и натуральных логарифмов
| Характеристика | Десятичный логарифм (lg) | Натуральный логарифм (ln) |
|---|---|---|
| Основание | 10 | e ≈ 2.71828 |
| Обозначение | lg b или log₁₀ b | ln b или logₑ b |
| Определение | lg b = c ⇔ 10ᶜ = b | ln b = c ⇔ eᶜ = b |
| lg e | lg e ≈ 0.4343 | ln e = 1 |
| ln 10 | lg 10 = 1 | ln 10 ≈ 2.3026 |
| Связь между ними |
lg b = ln b / ln 10 ≈ ln b / 2.3026 ln b = lg b / lg e ≈ lg b / 0.4343 |
|
🎯 Интерактивный пример: Вычисление логарифмов
Выберите правильный ответ:
Свойства логарифмов
Основные формулы и правила преобразования логарифмических выражений
📊 Основные свойства логарифмов (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
| № | Свойство | Формула | Пример | Примечание |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Логарифм произведения | logₐ(b·c) = logₐ b + logₐ c | log₂(4·8) = log₂4 + log₂8 = 2 + 3 = 5 | Распределение на сумму |
| 2 | Логарифм частного | logₐ(b/c) = logₐ b — logₐ c | log₂(8/4) = log₂8 — log₂4 = 3 — 2 = 1 | Распределение на разность |
| 3 | Логарифм степени | logₐ(bᶜ) = c·logₐ b | log₂(4³) = 3·log₂4 = 3·2 = 6 | Показатель выносится вперед |
| 4 | Формула перехода к новому основанию | logₐ b = logₖ b / logₖ a | log₂8 = lg8 / lg2 = 3 / 0.301 ≈ 10 | Основание произвольное (k > 0, k ≠ 1) |
| 5 | Основное логарифмическое тождество | aˡᵒᵍₐ ᵇ = b | 2ˡᵒᵍ² ⁸ = 8 | Следует из определения |
| 6 | Логарифм по тому же основанию |
logₐ a = 1 logₐ 1 = 0 |
log₂2 = 1 log₅1 = 0 |
Частные случаи |
| 7 | Смена основания и аргумента | logₐ b = 1 / log_b a | log₂8 = 1 / log₈2 | Частный случай формулы перехода |
🎭 Мнемоника для запоминания свойств
«Логарифм произведения»
logₐ(b·c) = logₐ b + logₐ c
Запомните: «Произведение внутри — сумма снаружи!»
«Логарифм частного»
logₐ(b/c) = logₐ b — logₐ c
Запомните: «Дробь внутри — разность снаружи!»
«Логарифм степени»
logₐ(bᶜ) = c·logₐ b
Запомните: «Степень внутри — умножение снаружи!»
🎯 Интерактивный пример: Упрощение выражения
Решение по шагам:
Примеры заданий из ЕГЭ
Типовые задачи на логарифмы в ЕГЭ по математике
Вычисление значения выражения
Условие: Найдите значение выражения:
Показать решение
Решение:
1. log₂ 16 = 4, так как 2⁴ = 16
2. log₃ 9 = 2, так как 3² = 9
3. Суммируем: 4 + 2 = 6
Упрощение выражения
Условие: Упростите выражение:
Показать решение
Решение:
1. log₅ 25 = 2, так как 5² = 25
2. log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8
3. Подставляем: 2 × 2 — 3 × 3 = 4 — 9
Вычисление с натуральными логарифмами
Условие: Найдите значение выражения:
Показать решение
Решение:
1. ln(e⁵) = 5 (по определению натурального логарифма)
2. lg 100 = 2 (так как 10² = 100)
3. log₂ 32 = 5 (так как 2⁵ = 32)
4. Подставляем: 5 + 2 — 5 = 2
✅ Чек-лист освоения темы 1.6
Определение логарифма
- Знаю определение logₐ b = c ⇔ aᶜ = b
- Понимаю ограничения (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
- Могу переходить между формами
Десятичные логарифмы
- Знаю, что lg b = log₁₀ b
- Помню особые значения (lg 1, lg 10, lg 100)
- Знаю, где применяются
Натуральные логарифмы
- Знаю, что ln b = logₑ b
- Знаю значение числа e ≈ 2.71828
- Помню, что ln e = 1, ln 1 = 0
Свойства логарифмов
- Знаю 7 основных свойств
- Могу применять свойства на практике
- Умею упрощать выражения с логарифмами
Решение задач ЕГЭ
- Решаю задания №5 (базовый)
- Решаю задания №7 (профиль)
- Могу вычислять выражения с разными логарифмами