Единичная окружность
Геометрическая модель для определения тригонометрических функций
📐 Что такое единичная окружность?
Определение
Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Уравнение: x² + y² = 1
Координаты любой точки на окружности:
P(x, y) = (cos α, sin α)
где α — угол между положительным направлением оси OX и радиус-вектором OP
🎯 Четверти и знаки тригонометрических функций
0°-90°
(0-π/2)
cos +
tan +
90°-180°
(π/2-π)
cos —
tan —
180°-270°
(π-3π/2)
cos —
tan +
270°-360°
(3π/2-2π)
cos +
tan —
Мнемоническое правило для запоминания знаков:
«Все студенты́ трудятся» — в I четверти все функции положительны.
«Си́ний цвет» — во II четверти положителен только синус.
«Только тангенс» — в III четверти положителен только тангенс.
«Косинус» — в IV четверти положителен только косинус.
🎮 Тренажер: Определи четверть
В какой четверти находится этот угол? Какие знаки имеют тригонометрические функции?
Синус, косинус и тангенс
Определения, свойства и основные значения
📚 Определения тригонометрических функций
Синус угла α
Определение через единичную окружность:
sin α = y-координата точки P на единичной окружности
Свойства:
- Область определения: ℝ
- Область значений: [-1, 1]
- Период: 2π
- Нечётная функция: sin(-α) = -sin α
Косинус угла α
Определение через единичную окружность:
cos α = x-координата точки P на единичной окружности
Свойства:
- Область определения: ℝ
- Область значений: [-1, 1]
- Период: 2π
- Чётная функция: cos(-α) = cos α
Тангенс угла α
Определение:
tan α = sin α / cos α
Свойства:
- Область определения: α ≠ π/2 + πk, k∈ℤ
- Область значений: ℝ
- Период: π
- Нечётная функция: tan(-α) = -tan α
📊 Таблица основных значений тригонометрических функций
| Угол α | Градусы | Радианы | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| π/4 | 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 | 90° | π/2 | 1 | 0 | ∄ |
| π | 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 3π/2 | 270° | 3π/2 | -1 | 0 | ∄ |
| 2π | 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
🎭 Мнемоника для запоминания значений
Для sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
Правило: Записываем √0, √1, √2, √3, √4 и делим на 2:
sin 0° = √0/2 = 0
sin 30° = √1/2 = 1/2
sin 45° = √2/2
sin 60° = √3/2
sin 90° = √4/2 = 1
Для cos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
Правило: Та же последовательность, но в обратном порядке:
cos 0° = √4/2 = 1
cos 30° = √3/2
cos 45° = √2/2
cos 60° = √1/2 = 1/2
cos 90° = √0/2 = 0
Правило тангенса
tan α = sin α / cos α
tan 0° = 0/1 = 0
tan 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3
tan 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1
tan 60° = (√3/2)/(1/2) = √3
tan 90° = 1/0 = не существует
Арксинус, арккосинус, арктангенс
Обратные тригонометрические функции и их свойства
📚 Определения обратных функций
Арксинус
Определение: arcsin x = α, где sin α = x и α ∈ [-π/2, π/2]
Свойства:
- Область определения: x ∈ [-1, 1]
- Область значений: [-π/2, π/2]
- Нечётная функция: arcsin(-x) = -arcsin x
- Основное тождество: sin(arcsin x) = x
Пример: arcsin(1/2) = π/6, потому что sin(π/6) = 1/2
Арккосинус
Определение: arccos x = α, где cos α = x и α ∈ [0, π]
Свойства:
- Область определения: x ∈ [-1, 1]
- Область значений: [0, π]
- Связь с arcsin: arccos x = π/2 — arcsin x
- Основное тождество: cos(arccos x) = x
Пример: arccos(1/2) = π/3, потому что cos(π/3) = 1/2
Арктангенс
Определение: arctan x = α, где tan α = x и α ∈ (-π/2, π/2)
Свойства:
- Область определения: x ∈ ℝ
- Область значений: (-π/2, π/2)
- Нечётная функция: arctan(-x) = -arctan x
- Основное тождество: tan(arctan x) = x
Пример: arctan(1) = π/4, потому что tan(π/4) = 1
📈 Области значений обратных функций
arcsin x ∈ [-π/2, π/2]
arccos x ∈ [0, π]
arctan x ∈ (-π/2, π/2)
🎯 Интерактивный пример: Вычисление обратных функций
Выберите правильный ответ:
Основные формулы тригонометрии
Тождества, формулы приведения, связи между функциями
📊 Основные тригонометрические тождества
| Тип формулы | Формула | Пример применения |
|---|---|---|
| Основное тождество | sin²α + cos²α = 1 | Если sin α = 3/5, то cos α = ±4/5 |
| Тангенс и котангенс |
tan α = sin α / cos α cot α = cos α / sin α |
tan(π/4) = sin(π/4)/cos(π/4) = 1 |
| 1 + tan²α | 1 + tan²α = 1/cos²α | Если tan α = 2, то cos α = ±1/√5 |
| Формулы приведения |
sin(π/2 ± α) = cos α cos(π/2 ± α) = ∓ sin α |
sin(90° + 30°) = cos 30° = √3/2 |
| Связь обратных функций | arcsin x + arccos x = π/2 | arcsin(1/2) + arccos(1/2) = π/6 + π/3 = π/2 |
| Нечётность/чётность |
sin(-α) = -sin α cos(-α) = cos α tan(-α) = -tan α |
sin(-30°) = -sin 30° = -1/2 |
🎭 Мнемоническое правило формул приведения
«Если угол изменяется на π/2 или 3π/2»
Правило:
- Определяем, меняется ли функция на кофункцию
- Определяем знак по исходной функции
Мнемоническое правило
«Если аргумент = (π/2 ± α) или (3π/2 ± α)»
1. Функция меняется на кофункцию:
sin ↔ cos, tan ↔ cot
2. Знак определяется по исходной функции в соответствующей четверти
Пример
sin(π/2 + α) = ?
1. π/2 + α — меняем sin на cos
2. Угол π/2 + α во II четверти, где sin положителен
3. Ответ: cos α
Примеры заданий из ЕГЭ
Типовые задачи на тригонометрию в ЕГЭ по математике
Вычисление значения выражения
Условие: Найдите значение выражения:
Показать решение
Решение:
1. Используем табличные значения:
sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, tan 45° = 1
2. Подставляем: 2 × (1/2) + 3 × (1/2) — 1
3. Вычисляем: 1 + 1.5 — 1 = 1.5
Упрощение выражения
Условие: Упростите выражение:
Показать решение
Решение: Используем формулы приведения:
1. sin(π — α) = sin α (II четверть, sin положителен)
2. cos(3π/2 — α) = -sin α (IV четверть, cos положителен, но меняем на кофункцию)
3. Получаем: sin α + (-sin α) = 0
Вычисление обратных функций
Условие: Найдите значение выражения:
Показать решение
Решение:
1. arcsin(1/2) = π/6, так как sin(π/6) = 1/2 и π/6 ∈ [-π/2, π/2]
2. arccos(√3/2) = π/6, так как cos(π/6) = √3/2 и π/6 ∈ [0, π]
3. Подставляем: 2 × (π/6) + π/6 = 2π/6 + π/6 = 3π/6 = π/2
✅ Чек-лист освоения темы 1.5
Единичная окружность
- Понимаю геометрический смысл
- Знаю знаки по четвертям
- Могу найти точку по углу
Основные функции
- Знаю определения sin, cos, tan
- Помню основные значения
- Знаю свойства (четность, периодичность)
Обратные функции
- Знаю определения arcsin, arccos, arctan
- Понимаю области определения и значения
- Могу вычислять значения
Основные формулы
- Знаю основное тригонометрическое тождество
- Умею применять формулы приведения
- Знаю связи между обратными функциями
Решение задач ЕГЭ
- Решаю задания №5 (базовый)
- Решаю задания №7 (профиль)
- Могу вычислять выражения с обратными функциями