Уравнения и неравенства: теория для ЕГЭ
📚 Словарь терминов
Уравнение
Равенство с переменной: \(2x — 5 = 3\)
Корень уравнения
Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство
Неравенство
Соотношение вида \(f(x) > g(x)\) или \(f(x) \leq g(x)\)
ОДЗ
Область допустимых значений — все значения переменной, при которых выражение имеет смысл
Равносильность
Уравнения (неравенства) равносильны, если имеют одинаковые корни (решения)
🧮 Основные формулы и методы
Квадратные уравнения
\(ax^2 + bx + c = 0\)
Дискриминант: \(D = b^2 — 4ac\)
Корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
Метод интервалов
Для решения неравенств:
- Найти нули функции
- Отметить их на числовой прямой
- Определить знаки на интервалах
Показательные уравнения
\(a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)\)
При \(a > 0, a \neq 1\)
Логарифмические уравнения
\(\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}\)
📊 Схемы решения
Алгоритм решения уравнений
Классификация неравенств
🔍 Примеры решения задач
Пример 1: Квадратное уравнение
Решить: \(x^2 — 5x + 6 = 0\)
Решение:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\)
\(x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\)
\(x_1 = 3, \quad x_2 = 2\)
Ответ: 2; 3
Пример 2: Неравенство
Решить: \(\frac{x-2}{x+3} > 0\)
Решение (метод интервалов):
Нули числителя: \(x = 2\)
Нули знаменателя: \(x = -3\)
Интервалы: \((-\infty; -3), (-3; 2), (2; +\infty)\)
Знаки: + , — , +
Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)\)
Пример 3: Показательное уравнение
Решить: \(4^{x} — 3 \cdot 2^{x} — 4 = 0\)
Решение:
Замена: \(t = 2^x > 0\)
\(t^2 — 3t — 4 = 0\)
\(t_1 = 4, \quad t_2 = -1\) (не подходит)
\(2^x = 4 \Rightarrow x = 2\)
Ответ: 2
Пример 4: Логарифмическое уравнение
Решить: \(\log_2(x+3) = 3\)
Решение:
ОДЗ: \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3\)
\(x + 3 = 2^3\)
\(x + 3 = 8\)
\(x = 5\) (входит в ОДЗ)
Ответ: 5