Функции и графики: теория для ЕГЭ
📚 Основные понятия
Функция
Зависимость, где каждому значению \(x\) (аргумент) соответствует единственное значение \(y\) (функция)
Область определения (D(f))
Множество всех допустимых значений аргумента \(x\)
Область значений (E(f))
Множество всех значений, которые принимает функция
График функции
Множество точек плоскости с координатами \((x; f(x))\)
Нули функции
Точки, где график пересекает ось OX (\(f(x) = 0\))
📈 Основные виды функций
Линейная функция
\(y = kx + b\)
График: прямая линия
Рис. 1: График линейной функции
Квадратичная функция
\(y = ax^2 + bx + c\)
График: парабола
Рис. 2: График параболы
Обратная пропорциональность
\(y = \frac{k}{x}\)
График: гипербола
Рис. 3: График гиперболы
🔄 Преобразования графиков
Параллельный перенос
\(y = f(x — a)\) — сдвиг на \(a\) единиц вправо
\(y = f(x) + b\) — сдвиг на \(b\) единиц вверх
Растяжение/сжатие
\(y = k \cdot f(x)\) — растяжение в \(k\) раз от оси OX
\(y = f(kx)\) — сжатие в \(k\) раз к оси OY
Отражение
\(y = -f(x)\) — симметрия относительно оси OX
\(y = f(-x)\) — симметрия относительно оси OY
🔍 Свойства функций
Четность/нечетность
Четная: \(f(-x) = f(x)\) (симметрия OY)
Нечетная: \(f(-x) = -f(x)\) (симметрия O)
Монотонность
Возрастающая: \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)
Убывающая: \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)
Периодичность
\(f(x + T) = f(x)\) для некоторого \(T \neq 0\)
Пример: \(y = \sin x, T = 2\pi\)
🧩 Примеры задач
Пример 1: Область определения
Найти область определения функции: \(y = \sqrt{4 — x^2}\)
Решение:
\(4 — x^2 \geq 0\)
\(x^2 \leq 4\)
\(-2 \leq x \leq 2\)
Ответ: \(x \in [-2; 2]\)
Пример 2: Преобразование графика
Как получить график \(y = (x-3)^2 + 2\) из \(y = x^2\)?
Решение:
1. Сдвиг на 3 единицы вправо: \(y = (x-3)^2\)
2. Сдвиг на 2 единицы вверх: \(y = (x-3)^2 + 2\)
Ответ: сдвиг вправо на 3, вверх на 2
Пример 3: Свойства функции
Определить четность функции: \(f(x) = x^3 — 3x\)
Решение:
\(f(-x) = (-x)^3 — 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 — 3x) = -f(x)\)
Ответ: нечетная
Пример 4: Графическое решение
Сколько решений имеет уравнение: \(\sin x = \frac{x}{10}\)?
Решение:
Построить графики \(y = \sin x\) и \(y = \frac{x}{10}\)
Точки пересечения: 7 точек (3 положительных, 3 отрицательных, 0)
Ответ: 7 решений