Начала математического анализа: теория для ЕГЭ
📚 Основные понятия
Производная функции
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}\)
Первообразная
Функция \(F(x)\), производная которой равна исходной функции: \(F'(x) = f(x)\)
Интеграл
Площадь криволинейной трапеции под графиком функции. Обозначение: \(\int_a^b f(x)dx\)
Точки экстремума
Точки максимума и минимума функции
Касательная к графику
Прямая, имеющая одну общую точку с графиком функции
🧮 Основные формулы
Производные элементарных функций
| \((c)’ = 0\) | Производная константы |
| \((x^n)’ = n \cdot x^{n-1}\) | Степенная функция |
| \((\sin x)’ = \cos x\) | Синус |
| \((\cos x)’ = -\sin x\) | Косинус |
| \((e^x)’ = e^x\) | Экспонента |
| \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\) | Натуральный логарифм |
Правила дифференцирования
\((u \pm v)’ = u’ \pm v’\)
\((u \cdot v)’ = u’v + uv’\)
\(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}\)
\((f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Первообразные
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1\)
\(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)
\(\int e^x dx = e^x + C\)
\(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
\(\int \cos x dx = \sin x + C\)
Формула Ньютона-Лейбница
\(\int_a^b f(x)dx = F(b) — F(a)\)
где \(F(x)\) — первообразная для \(f(x)\)
📊 Схемы решения задач
Алгоритм исследования функции
Уравнение касательной
\(y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)\)
Рис. 1: Касательная к графику функции
Физический смысл производной
Скорость = производная пути: \(v(t) = S'(t)\)
Ускорение = производная скорости: \(a(t) = v'(t)\)
🔍 Примеры решения задач
Пример 1: Найти производную
Дано: \(f(x) = 3x^4 — 2x^2 + 5x — 7\)
Решение:
\(f'(x) = (3x^4)’ — (2x^2)’ + (5x)’ — (7)’\)
\(f'(x) = 12x^3 — 4x + 5\)
Ответ: \(12x^3 — 4x + 5\)
Пример 2: Исследовать функцию
Дано: \(f(x) = x^3 — 3x\)
Решение:
1. \(f'(x) = 3x^2 — 3\)
2. Критические точки: \(3x^2 — 3 = 0\) ⇒ \(x^2 = 1\) ⇒ \(x = \pm 1\)
3. Знаки производной:
\(f'(x) > 0\) при \(x < -1\) и \(x > 1\) ⇒ функция возрастает
\(f'(x) < 0\) при \(-1 < x < 1\) ⇒ функция убывает
4. \(x = -1\) — точка максимума, \(x = 1\) — точка минимума
Пример 3: Уравнение касательной
Написать уравнение касательной к графику \(f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 2\)
Решение:
1. \(f(2) = 2^2 = 4\)
2. \(f'(x) = 2x\) ⇒ \(f'(2) = 4\)
3. Уравнение: \(y = 4 + 4(x — 2)\)
\(y = 4x — 4\)
Ответ: \(y = 4x — 4\)
Пример 4: Вычислить интеграл
\(\int_0^1 (3x^2 + 2x) dx\)
Решение:
1. Первообразная: \(F(x) = x^3 + x^2\)
2. \(F(1) = 1^3 + 1^2 = 2\)
3. \(F(0) = 0\)
4. \(\int_0^1 = 2 — 0 = 2\)
Ответ: 2