2.2 Иррациональные уравнения

Уравнения с корнями: методы решения для ЕГЭ

1. Основные понятия

Что такое иррациональное уравнение?

Уравнение, содержащее переменную под знаком корня:

\[ \boxed{\sqrt[\large n]{f(x)} = g(x)} \]

Примеры:
\(\sqrt{x} = 5\),
\(\sqrt[3]{2x-1} = x\),
\(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = 5\)

Особенности решения

Требуют ОДЗ (область допустимых значений)
При возведении в степень могут появляться посторонние корни
Обязательна проверка корней
Часто требуют возведения в степень несколько раз

2. Основные методы решения (таблица)

Метод	Когда применять	Алгоритм
Возведение в степень	Один корень в уравнении	1. Изолировать корень 2. Возвести в степень 3. Решить полученное уравнение 4. Проверить корни
Замена переменной	Сложные корни, повторяющиеся выражения	1. Ввести \( t = \sqrt{f(x)} \) 2. Решить уравнение для \(t\) 3. Вернуться к \(x\) 4. Проверить корни
Учёт ОДЗ	Все случаи	1. Найти ОДЗ: \(f(x) \geq 0\) 2. Решить уравнение 3. Отобрать корни в ОДЗ

3. Алгоритм решения

graph TD
    A[Иррациональное уравнение] --> B[Найти ОДЗ]
    B --> C[Изолировать корень]
    C --> D[Возвести в степень]
    D --> E[Решить полученное уравнение]
    E --> F[Проверить корни в ОДЗ]
    F --> G[Записать ответ]

4. Примеры решения

Пример 1: Простое уравнение

\(\sqrt{2x+3} = 5\)

ОДЗ: \(2x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1.5\)
Возводим в квадрат: \(2x+3 = 25\)
\(2x = 22 \Rightarrow x = 11\)
Проверка: \(11 \geq -1.5\) → корень подходит

Пример 2: Уравнение с заменой

\(x — 4\sqrt{x} + 3 = 0\)

ОДЗ: \(x \geq 0\)
Замена: \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^2\)
\(t^2 — 4t + 3 = 0\)
\(t_1 = 1\), \(t_2 = 3\)
\(\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1\)
\(\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9\)
Оба корня ≥ 0 → подходят

5. Особые случаи

Корень равен отрицательному числу

\(\sqrt{f(x)} = g(x)\), где \(g(x) < 0\)

Решение: Нет решений, так как арифметический корень всегда ≥ 0

Пример:
\(\sqrt{x-2} = -3\) → нет решений

Сумма корней

\(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x)\)

Решение:
1. Найти ОДЗ
2. Возводить в квадрат поэтапно
3. Переносить корни по одному

Пример:
\(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = 5\)

6. Примеры задач ЕГЭ

Задача 1: Решить \(\sqrt{3x-2} = x-2\)

Решение:
1. ОДЗ: \(3x-2 \geq 0\) и \(x-2 \geq 0\) → \(x \geq 2\)
2. Возводим в квадрат: \(3x-2 = (x-2)^2\)
3. \(x^2 — 4x + 4 — 3x + 2 = 0\)
4. \(x^2 — 7x + 6 = 0\)
5. \(x_1 = 1\), \(x_2 = 6\)
6. Проверка ОДЗ: \(x=1 < 2\) — не подходит; \(x=6 \geq 2\) — подходит
7. Проверка подстановкой: \(\sqrt{18-2} = \sqrt{16} = 4\), \(6-2=4\) → верно
Ответ: 6

Задача 2: Решить \(\sqrt[3]{x^2 — 3x} = 2\)

Решение:
1. Корень нечётной степени → ОДЗ не нужно
2. Возводим в куб: \(x^2 — 3x = 8\)
3. \(x^2 — 3x — 8 = 0\)
4. \(D = 9 + 32 = 41\)
5. \(x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}\)
6. Проверка: оба корня подходят (подставьте в калькулятор)
Ответ: \(\frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}\)

7. Схема проверки корней

graph LR
    A[Полученные корни] --> B{Корень нечетной степени?}
    B -->|Да| C[Проверка не обязательна]
    B -->|Нет| D[Проверить ОДЗ]
    D --> E[Проверить подстановкой]
    E --> F[Отсеять посторонние корни]

8. Памятка

Всегда помнить

Для \(\sqrt[n]{f(x)}\) при чётном \(n\): \(f(x) \geq 0\)
При нечётном \(n\) — ограничений нет
Правая часть \(\geq 0\) при чётном корне
После возведения в квадрат проверять обязательно!

Частые ошибки

Не учли ОДЗ
Не проверили корни
Потеряли решения при возведении в степень
Ошиблись при раскрытии \((a+b)^2\)

9. Формулы для запоминания

\[ \boxed{ \begin{array}{c} (\sqrt{a})^2 = a \\ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \\ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \\ \sqrt{a^2} = |a| \end{array} } \]

2.2 Иррациональные уравнения