Тригонометрические функции: свойства и графики
Функция y = sin x
Основные свойства:
- D(y) = (-∞; +∞)
- E(y) = [-1; 1]
- Период: T = 2π
- Нечётная: sin(-x) = -sin x
- Нули: x = πn, n∈ℤ
(0,0)
(π/2,1)
(π,0)
(3π/2,-1)
(2π,0)
Функция y = cos x
Основные свойства:
- D(y) = (-∞; +∞)
- E(y) = [-1; 1]
- Период: T = 2π
- Чётная: cos(-x) = cos x
- Нули: x = π/2 + πn
(0,1)
(π/2,0)
(π,-1)
(3π/2,0)
(2π,1)
Сравнение тригонометрических функций
| Характеристика | y = sin x | y = cos x | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | ℝ | ℝ | x ≠ π/2 + πn | x ≠ πn |
| Область значений | [-1; 1] | [-1; 1] | ℝ | ℝ |
| Период | 2π | 2π | π | π |
| Чётность | Нечётная | Чётная | Нечётная | Нечётная |
Преобразования графиков
y = f(x) + a
↓
Сдвиг вдоль OY на a
y = k·f(x)
↓
Растяжение по OY в k раз
y = f(x + b)
↓
Сдвиг по OX на -b
y = f(m·x)
↓
Сжатие по OX в m раз
Пример: y = 2 sin(3x + π) — 1
1. Амплитуда колебаний: |k| = 2
2. Период: T = 2π/|m| = 2π/3
3. Фазовый сдвиг: φ = -b/m = -π/3
4. Вертикальный сдвиг: c = -1
Схема «5 ключевых точек»
0
π/2
π
3π/2
2π
sin x: 0 → 1 → 0 → -1 → 0
cos x: 1 → 0 → -1 → 0 → 1