Степенная функция и корень n-ой степени
1. Степенная функция \( y = x^n \) (n ∈ ℕ)
Чётный показатель (n = 2, 4, 6…)
- D(y) = \( (-\infty; +\infty) \)
- E(y) = \( [0; +\infty) \)
- Чётная: \( f(-x) = f(x) \)
- График симметричен относительно Oy
Нечётный показатель (n = 1, 3, 5…)
- D(y) = \( (-\infty; +\infty) \)
- E(y) = \( (-\infty; +\infty) \)
- Нечётная: \( f(-x) = -f(x) \)
- График симметричен относительно O(0;0)
2. Функция \( y = x^{-n} = \frac{1}{x^n} \) (n ∈ ℕ)
| Параметр | Чётный n | Нечётный n |
|---|---|---|
| Пример | \( y = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \) | \( y = x^{-3} = \frac{1}{x^3} \) |
| Область значений | \( (0; +\infty) \) | \( (-\infty; 0) ∪ (0; +\infty) \) |
| Асимптоты | x = 0 (вертикальная), y = 0 (горизонтальная) | |
3. Функция \( y = \sqrt[n]{x} \)
Чётное n (n = 2, 4…)
- Арифметический корень
- D(y) = \( [0; +\infty) \)
- E(y) = \( [0; +\infty) \)
- \( \sqrt[2k]{x^{2k}} = |x| \)
Нечётное n (n = 3, 5…)
- Определена для всех x
- D(y) = \( (-\infty; +\infty) \)
- E(y) = \( (-\infty; +\infty) \)
- \( \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}} = x \)
Схема свойств степенных функций
n > 0
→
График через (0,0) и (1,1)
n < 0
→
График в 1 и 3 квадрантах
n → ∞
→
«Прижимается» к осям