2.7 Показательные и логарифмические неравенства

Теория к ЕГЭ: «Показательные и логарифмические неравенства»

Простое объяснение для 10-11 класса!

🔢 1. Основные понятия

Показательное неравенство — неравенство вида:
\( a^{f(x)} \bowtie a^{g(x)} \) или \( a^{f(x)} \bowtie b \)
где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( \bowtie \) — знак неравенства.

Логарифмическое неравенство — неравенство вида:
\( \log_a f(x) \bowtie \log_a g(x) \) или \( \log_a f(x) \bowtie c \)
где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \), \( g(x) > 0 \).

📊 2. Ключевые правила решения

Таблица 1: Показательные неравенства

Таблица 2: Логарифмические неравенства

🧩 3. Алгоритмы решения

Схема 1: Решение показательных неравенств

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО
  │
  ├── Шаг 1: Привести к виду \( a^{f(x)} \bowtie a^{g(x)} \)
  │
  ├── Шаг 2: Определить основание \( a \):
  │   ├── Если \( a > 1 \) → знак сохранить
  │   └── Если \( 0 < a < 1 \) → знак поменять
  │
  ├── Шаг 3: Решить полученное неравенство
  │
  └── Шаг 4: Записать ответ

Схема 2: Решение логарифмических неравенств

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
  │
  ├── Шаг 1: Найти ОДЗ: \( f(x) > 0 \), \( g(x) > 0 \)
  │
  ├── Шаг 2: Привести к виду \( \log_a f(x) \bowtie \log_a g(x) \)
  │
  ├── Шаг 3: Определить основание \( a \):
  │   ├── Если \( a > 1 \) → знак сохранить
  │   └── Если \( 0 < a < 1 \) → знак поменять
  │
  ├── Шаг 4: Решить систему (неравенство + ОДЗ)
  │
  └── Шаг 5: Записать ответ

📝 4. Примеры решения

Пример 1 (показательное): \( 3^{2x-1} \geq 9 \)

1. Приводим к одному основанию: \( 3^{2x-1} \geq 3^2 \)
2. Основание \( 3 > 1 \) → знак сохраняется: \( 2x-1 \geq 2 \)
3. Решаем: \( 2x \geq 3 \) ⇒ \( x \geq 1.5 \)

Пример 2 (логарифмическое): \( \log_{0.5} (x-1) < 2 \)

1. ОДЗ: \( x-1 > 0 \) → \( x > 1 \)
2. Приводим: \( \log_{0.5} (x-1) < \log_{0.5} 0.25 \)
3. Основание \( 0.5 < 1 \) → знак меняется: \( x-1 > 0.25 \)
4. Система: \( \begin{cases} x > 1 \\ x > 1.25 \end{cases} \) ⇒ \( x > 1.25 \)

⚠️ 5. Частые ошибки

💡 6. Памятка

• Для показательных неравенств:
  \( a^{f(x)} > b \) ⇒ \( \begin{cases} f(x) > \log_a b & \text{при } a > 1 \\ f(x) < \log_a b & \text{при } 0 < a < 1 \end{cases} \)
• Для логарифмических неравенств:
  \( \log_a f(x) > c \) ⇒ \( \begin{cases} f(x) > a^c & \text{при } a > 1 \\ 0 < f(x) < a^c & \text{при } 0 < a < 1 \end{cases} \)
• Полезные формулы:
  \( a^{\log_a b} = b \), \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)

✅ 7. Тренировка

Решите неравенство:

\[ 2 \cdot \log_2^2 x - 5 \cdot \log_2 x + 2 < 0 \]