Теория к ЕГЭ: «Тригонометрические неравенства»
Простое объяснение для 10-11 класса!
📌 1. Основные понятия
Тригонометрическое неравенство — неравенство вида:
\( \sin x \bowtie a \), \( \cos x \bowtie b \), \( \tg x \bowtie c \), \( \ctg x \bowtie d \)
где \( \bowtie \) — знак неравенства (\( >, <, \geq, \leq \)).
Особенности:
— Решения периодичны (\( 2\pi \) для sin/cos, \( \pi \) для tg/ctg)
— Учитываем область определения (tg и ctg не определены в \( \frac{\pi}{2} + \pi n \))
📊 2. Решение простейших неравенств
Таблица 1: Основные решения
| Неравенство | Решение для \( x \in [0; 2\pi) \) | Общее решение |
|---|---|---|
| \( \sin x > \frac{1}{2} \) | \( \left( \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6} \right) \) | \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) |
| \( \cos x \leq -\frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \left[ \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} \right] \) | \( \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) |
| \( \tg x \geq 1 \) | \( \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[ \frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \) | \( \frac{\pi}{4} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n \) |
Правило:
— Для sin/cos: находим точки на тригонометрическом круге
— Для tg/ctg: используем период \( \pi \) и учитываем асимптоты
🧩 3. Алгоритм решения
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
│
├── Шаг 1: Найти ОДЗ (особенно для tg/ctg)
│
├── Шаг 2: Привести к простейшему виду
│ (с помощью формул или замены)
│
├── Шаг 3: Найти решения на одном периоде
│ (например, [0; 2π) для sin/cos)
│
├── Шаг 4: Учесть периодичность
│ (добавить +2πn или +πn)
│
└── Шаг 5: Записать ответ с учётом ОДЗМетоды упрощения:
- Замена переменной: \( t = \sin x \)
- Формулы приведения:
\( \sin(\pi — x) = \sin x \), \( \cos(\pi + x) = -\cos x \) - Разложение на множители:
\( 2\sin x \cos x — \sin x = \sin x (2\cos x — 1) \)
📝 4. Примеры решения
Пример 1: \( 2\sin x — 1 < 0 \)
- \( \sin x < \frac{1}{2} \)
- Решение на \([0; 2\pi)\): \( x \in \left(0; \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}; 2\pi\right) \)
- Общее решение: \( 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n \cup \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n \)
Пример 2: \( \tg\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) \geq \sqrt{3} \)
- ОДЗ: \( 2x — \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \)
- Замена: \( t = 2x — \frac{\pi}{4} \) → \( \tg t \geq \sqrt{3} \)
- Решение для t: \( \frac{\pi}{3} + \pi n \leq t < \frac{\pi}{2} + \pi n \)
- Обратная замена: \( x \geq \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} \)
⚠️ 5. Частые ошибки
| Ошибка | Как избежать | Пример |
|---|---|---|
| Забыли период | Всегда добавлять \( +2\pi n \) или \( + \pi n \) | Для \( \sin x > 0 \) ответ \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \) |
| Не учли ОДЗ | Проверять точки, где tg/ctg не определены | \( \tg x > 1 \) → исключить \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) |
| Неправильный знак | Использовать тригонометрический круг | Для \( \cos x > -\frac{1}{2} \) решение \( \left(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) \) |
| Путаница с кратными углами | Делить период на коэффициент | Для \( \sin 2x > 0 \) период \( \pi \) |
💡 6. Памятка
- Тригонометрический круг — лучший помощник!
- Для неравенств вида \( \sin( kx ) \bowtie a \):
- Период: \( \frac{2\pi}{k} \)
- Решать на интервале длиной в период
- Полезные значения:
Функция 0 \( \frac{\pi}{6} \) \( \frac{\pi}{4} \) \( \frac{\pi}{3} \) \( \frac{\pi}{2} \) sin 0 \( \frac{1}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 1 cos 1 \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{1}{2} \) 0
✅ 7. Тренировка
Решите неравенство:
\[ 2\cos^2 x — \sqrt{3} \cos x < 0 \]
Ответ
\[ \begin{align*} & \cos x (2\cos x — \sqrt{3}) < 0 \\ & \text{Критические точки: } \cos x = 0 \quad \text{и} \quad \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ & \text{Решение:} \\ & \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \quad \cup \quad \frac{3\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n \\ & \text{Или в компактной форме:} \\ & \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{align*} \]