2.9 Системы и совокупности уравнений и неравенств

Теория к ЕГЭ: Системы и совокупности уравнений и неравенств

Простыми словами для 10-11 класса.

1. Основные понятия

Система — это несколько условий, которые должны выполняться одновременно.
Совокупность — это несколько условий, из которых должно выполняться хотя бы одно.

2. Решение систем уравнений

Методы:

• Подстановка: выражаем одну переменную через другую.
• Сложение/вычитание: складываем уравнения для исключения переменной.

Пример:
\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x — y = 1 \end{cases}\)
1. Сложим уравнения: \(x + y + 2x — y = 5 + 1\) → \(3x = 6\) → \(x = 2\).
2. Подставим в первое: \(2 + y = 5\) → \(y = 3\).
Ответ: \((2; 3)\).

3. Решение систем неравенств

Алгоритм:

1. Решить каждое неравенство отдельно.
2. Найти пересечение решений на числовой прямой.

Пример:
\(\begin{cases} 3x — 6 > 0 \\ x + 2 \leq 5 \end{cases}\)
1. \(3x > 6\) → \(x > 2\).
2. \(x \leq 3\).
3. Пересечение: \(x \in (2; 3]\).

4. Совокупности уравнений

Решаем каждое уравнение и объединяем решения.

Пример:
\(\left[ \begin{array}{c} x^2 — 4 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{array} \right]\)
1. \(x^2 = 4\) → \(x = \pm 2\).
2. \(x = -1\).
Ответ: \(x \in \{-2, -1, 2\}\).

5. Совокупности неравенств

Решаем каждое неравенство и объединяем решения.

Пример:
\(\left[ \begin{array}{c} 2x — 4 < 0 \\ x + 1 > 3 \end{array} \right]\)
1. \(2x < 4\) → \(x < 2\).
2. \(x > 2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\) (все числа, кроме \(x = 2\)).

6. Схемы для запоминания

Система:

```mermaid
graph LR
  A[Условие 1] --> C[Решение]
  B[Условие 2] --> C
  C --> D[Пересечение]
```

Совокупность:

```mermaid
graph LR
  A[Условие 1] --> D[Объединение]
  B[Условие 2] --> D
```

7. Частые ошибки

• Путают \(\cap\) (система) и \(\cup\) (совокупность).
• Забывают проверить ОДЗ в уравнениях с дробями/корнями.
• Теряют решения при возведении в квадрат.

Вывод:
— Система = «И» (оба условия).
— Совокупность = «ИЛИ» (хотя бы одно).
Тренируйтесь на заданиях из Открытого банка ЕГЭ!