Рациональные числа (ℚ)
Числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби
📚 Формальное определение
ℚ = { m/n | m ∈ ℤ, n ∈ ℕ }
где m — целое число, n — натуральное число
Рациональное число — это отношение двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю.
🎯 Примеры рациональных чисел
Целые числа
Любое целое число — рациональное:
Конечные десятичные дроби
Можно представить как обыкновенную дробь:
Бесконечные периодические дроби
Повторяющаяся последовательность цифр:
🤔 Проверь себя: Какие числа рациональны?
Обыкновенные дроби
Числа вида m⁄n, где m — числитель, n — знаменатель
📊 Виды обыкновенных дробей
Правильная дробь
Числитель меньше знаменателя:
0 < m < n
Значение дроби меньше 1
Неправильная дробь
Числитель больше или равен знаменателю:
m ≥ n
Значение дроби ≥ 1
Смешанное число
Целая часть + правильная дробь:
a b⁄c
Например: 1½ = 1 + ½
🔄 Преобразование дробей
Неправильная → Смешанная
Пример: 7⁄3 = ?
1. Делим 7 на 3: 7 ÷ 3 = 2 (остаток 1)
2. Целая часть: 2
3. Дробная часть: остаток/делитель = 1⁄3
Ответ: 21⁄3
Смешанная → Неправильная
Пример: 21⁄3 = ?
1. Умножаем целую часть на знаменатель: 2 × 3 = 6
2. Прибавляем числитель: 6 + 1 = 7
3. Знаменатель остаётся тем же: 3
Ответ: 7⁄3
🎮 Тренажер: Определи тип дроби
Десятичные дроби
Запись чисел с помощью десятичной системы счисления
🔄 Перевод обыкновенной дроби в десятичную
Два способа перевода:
Способ 1: Деление в столбик
Пример: 3⁄8 = ?
Ответ: 0.375
Способ 2: Приведение к знаменателю 10, 100, 1000…
Пример: 3⁄8 = ?
1. Домножаем числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилась степень 10:
3⁄8 = 3×125⁄8×125 = 375⁄1000
2. Дробь со знаменателем 1000: 375/1000 = 0.375
Ответ: 0.375
📊 Таблица: Обыкновенные и десятичные дроби
| Обыкновенная дробь | Десятичная дробь | Проценты | Тип |
|---|---|---|---|
| 1⁄2 | 0.5 | 50% | Конечная |
| 1⁄3 | 0.333… | 33.33% | Периодическая |
| 1⁄4 | 0.25 | 25% | Конечная |
| 3⁄4 | 0.75 | 75% | Конечная |
| 1⁄8 | 0.125 | 12.5% | Конечная |
Проценты
Сотая часть числа. 1% = 1/100 = 0.01
📐 Основные формулы процентов
Найти p% от числа A
Пример: Найти 20% от 150
150 × (20/100) = 150 × 0.2 = 30
Найти число, если p% равно B
Пример: Число, 25% которого равно 50
50 ÷ (25/100) = 50 ÷ 0.25 = 200
Сколько процентов B составляет от A
Пример: 30 от 150 — это сколько %?
(30/150) × 100% = 0.2 × 100% = 20%
🎯 Типовые задачи на проценты (ЕГЭ)
Задача 1: Процент от числа
Условие: В классе 30 учеников. 40% из них — девочки. Сколько девочек в классе?
Показать решение
1. 40% = 40/100 = 0.4
2. 30 × 0.4 = 12 девочек
Задача 2: Процентное изменение
Условие: Цена товара сначала выросла на 20%, затем снизилась на 20%. Как изменилась цена?
Показать решение
1. Пусть начальная цена = 100%
2. После повышения: 100% + 20% = 120%
3. После снижения: 120% × 0.8 = 96%
Ответ: цена уменьшилась на 4%
Задача 3: Процентное соотношение
Условие: Из 400 студентов 80 получили «5». Сколько процентов студентов получили «5»?
Показать решение
1. (80 / 400) × 100% = 0.2 × 100%
Ответ: 20% студентов
Бесконечные периодические дроби
Десятичные дроби с бесконечно повторяющейся последовательностью цифр
🔁 Что такое периодическая дробь?
Периодическая десятичная дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, повторяется определенная группа цифр, называемая периодом.
Период: 3
Длина периода: 1
Обыкновенная дробь: 1⁄3
Период: 6
Длина периода: 1
Обыкновенная дробь: 1⁄6
Период: 142857
Длина периода: 6
Обыкновенная дробь: 1⁄7
🔄 Алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную
Пример: 0.(3) = ?
Шаг 1: Обозначим дробь за x
Пусть x = 0.333…
Шаг 2: Умножим на 10k
Период длины 1 → умножаем на 10:
10x = 3.333…
Шаг 3: Вычтем исходное уравнение
10x — x = 3.333… — 0.333…
9x = 3
Шаг 4: Найдем x
x = 3/9 = 1/3
🧩 Пример посложнее: 0.41(6)
Дано: 0.41(6) = 0.416666…
1. Пусть x = 0.416666…
2. Перенесем непериодическую часть: период «6» начинается после двух цифр
3. Умножим на 100 (чтобы сдвинуть запятую до периода):
4. Умножим на 1000 (чтобы сдвинуть запятую после одного повторения периода):
5. Вычтем из второго уравнения первое:
900x = 375
6. Находим x:
📝 Примеры из ЕГЭ
Задание 1 (Базовый уровень)
Условие: Найдите значение выражения: 3⁄4 + 0.25 — 25%
Решение:
1. 0.25 = 1⁄4
2. 25% = 0.25 = 1⁄4
3. 3⁄4 + 1⁄4 — 1⁄4 = 3⁄4
Задание 2 (Повышенный уровень)
Условие: Представьте периодическую дробь 0.2(7) в виде обыкновенной дроби.
Решение:
1. Пусть x = 0.2777…
2. 10x = 2.777…
3. 100x = 27.777…
4. 100x — 10x = 27.777… — 2.777…
5. 90x = 25
6. x = 25/90 = 5/18
✅ Чек-лист освоения темы
Рациональные числа
- Знаю определение ℚ
- Могу привести примеры
- Отличаю от иррациональных
Обыкновенные дроби
- Различаю виды дробей
- Умею преобразовывать
- Выполняю действия с дробями
Десятичные дроби
- Перевожу в обыкновенные
- Выполняю арифметические действия
- Сравниваю десятичные дроби
Проценты
- Знаю основные формулы
- Решаю задачи на проценты
- Перевожу % в дроби и обратно
Периодические дроби
- Понимаю, что такое период
- Умею переводить в обыкновенные
- Распознаю периодические дроби