Натуральные числа
Множество ℕ = {1, 2, 3, 4, …}
📌 Определение
Числа, возникающие при счете предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …
🎯 Свойства сложения и умножения
- Коммутативность: a + b = b + a
- Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)
- Дистрибутивность: a × (b + c) = a×b + a×c
🔢 Важные подмножества
🎮 Интерактивный пример: Распределение чисел
Перетащите числа в правильные категории:
Натуральные
Не натуральные
Целые числа
Множество ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
📈 Числовая прямая: визуализация целых чисел
Каждой точке на числовой прямой соответствует целое число
📊 Состав множества ℤ
- ℤ⁺ — положительные целые (ℕ)
- ℤ⁻ — отрицательные целые
- Ноль (0) — нейтральный элемент
⚖️ Арифметические операции
Для любых целых a, b ∈ ℤ:
- a + b ∈ ℤ (замкнутость)
- a — b ∈ ℤ (замкнутость)
- a × b ∈ ℤ (замкнутость)
- НО a ÷ b не всегда ∈ ℤ
🔍 Признаки делимости целых чисел
Мастер-класс по быстрой проверке делимости без калькулятора
| Делитель | Признак делимости | Пример | Проверка |
|---|---|---|---|
| 2 |
Чётность последней цифры: Последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8 |
1,248 |
8 чётное
✓ Делится |
| 3 |
Сумма цифр делится на 3: Сложите все цифры числа, проверьте результат |
423 4+2+3 = 9 |
9 ÷ 3 = 3
✓ Делится |
| 5 |
Последняя цифра 0 или 5: Самый простой признак |
120 |
Последняя 0
✓ Делится |
| 6 |
Комбинированный признак: Число делится и на 2, и на 3 одновременно |
132 1+3+2 = 6 (делится на 3) |
Чётное и сумма 6
✓ Делится |
| 9 |
Сумма цифр делится на 9: Аналогично признаку делимости на 3 |
288 2+8+8 = 18 |
18 ÷ 9 = 2 ✓ Делится |
| 10 |
Последняя цифра 0: Проще некуда |
450 |
Последняя 0
✓ Делится |
🎭 Мнемоника для запоминания
Последняя цифра должна быть чётной
Сумма цифр должна делиться на 3
Последняя цифра 0 или 5
1 Примеры заданий из ЕГЭ
Нахождение делителей
Условие: Какое из чисел является делителем числа 84?
Показать решение и ответ
Решение:
1. Проверим делимость 84 на предложенные числа:
- 84 ÷ 5 = 16.8 (не делится)
- 84 ÷ 7 = 12 (делится!)
- 84 ÷ 11 ≈ 7.636 (не делится)
- 84 ÷ 13 ≈ 6.461 (не делится)
2. Также можно использовать признаки делимости: 84 заканчивается на 4, значит делится на 2; сумма цифр 8+4=12 делится на 3; но для 7 нужна проверка делением.
Признаки делимости в задаче
Условие: Найдите наибольшее трехзначное число, которое делится на 6.
Показать решение и ответ
Решение:
1. Число должно делиться на 6 = 2 × 3, значит должно делиться и на 2, и на 3.
2. Наибольшее трехзначное число — 999, но оно нечетное (не делится на 2).
3. Проверим варианты по порядку убывания:
- 998: чётное, но сумма цифр 9+9+8=26 (не делится на 3)
- 997: нечётное
- 996: чётное, сумма цифр 9+9+6=24 (делится на 3!) ✓
4. Проверим 996 ÷ 6 = 166 (целое число).
🎯 Тренировочные задания
Задание 1: Простые числа
Сколько простых чисел находятся между 20 и 40?
Задание 2: Признак делимости на 9
Какая цифра должна стоять вместо ★, чтобы число 4★76 делилось на 9?
Задание 3: Отрицательные целые числа
Какое из этих чисел НЕ является целым?
📊 Проверь свой уровень
Ответь на все вопросы и проверь результат:
Количество правильных ответов: