Теория к ЕГЭ: Исследование функций
1. Область определения функции (D(f))
Все значения \(x\), при которых функция имеет смысл.
| Тип функции | Пример | Ограничения |
|---|---|---|
| Дробь | \( f(x) = \frac{1}{x} \) | Знаменатель ≠ 0 \( x \neq 0 \) |
| Корень | \( f(x) = \sqrt{x} \) | Подкоренное выражение ≥ 0 \( x \geq 0 \) |
| Логарифм | \( f(x) = \ln(x-2) \) | Аргумент > 0 \( x > 2 \) |
Пример: \( f(x) = \frac{\sqrt{x-3}}{x+2} \)
\[ \begin{cases} x-3 \geq 0 \\ x+2 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 3 \\ x \neq -2 \end{cases} \]
Ответ: \( D(f) = [3; +\infty) \)
2. Множество значений функции (E(f))
Все возможные значения \(y\), которые принимает функция.
Пример: \( f(x) = x^2 — 4 \)
\( y = x^2 — 4 \) ⇒ \( x^2 = y + 4 \) ⇒ \( y \geq -4 \)
Ответ: \( E(f) = [-4; +\infty) \)
3. Нули функции
Точки пересечения с осью OX (\(y = 0\)).
Пример: \( f(x) = x^2 — 4 \)
\( x^2 — 4 = 0 \) ⇒ \( x = \pm 2 \)
-2
2
4. Промежутки знакопостоянства
Где функция >0 или <0.
| Интервал | Знак функции | Поведение |
|---|---|---|
| \( (-\infty; -2) \) | \( + \) | Выше оси OX |
| \( (-2; 2) \) | \( — \) | Ниже оси OX |
| \( (2; +\infty) \) | \( + \) | Выше оси OX |
5. Промежутки монотонности
Где функция возрастает или убывает.
\( f'(x) > 0 \)
→
Функция возрастает
\( f'(x) < 0 \)
→
Функция убывает
6. Максимумы и минимумы
Точки, где функция меняет поведение.
Максимум
∩
Производная меняет
+ → —
+ → —
Минимум
∪
Производная меняет
— → +
— → +
7. Наибольшее и наименьшее значение
Как найти на отрезке \([a;b]\):
- Найти критические точки (\(f'(x)=0\))
- Вычислить значения функции:
- В критических точках
- На концах отрезка
- Выбрать наибольшее/наименьшее