3.1 Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции

1. Что такое функция?

Функция — зависимость, где каждому \(x\) соответствует единственный \(y\).

Способы задания функций:

Способ	Пример	Плюсы и минусы
Аналитический	\(y = x^2 + 3\)	Точно, но не всегда наглядно
Графический	График на плоскости	Наглядно, но неточно
Табличный	Таблица значений	Точно, но неполные данные
Словесный	«Каждому x сопоставить его квадрат»	Просто, но неформально

2. График функции

График — множество точек \((x; y)\), где \(y = f(x)\).

Основные графики:

Функция	Формула	Особенности
Линейная	\(y = kx + b\)	Прямая линия (\(k\) — наклон)
Квадратичная	\(y = x^2\)	Парабола (ветви вверх/вниз)
Гипербола	\(y = \frac{1}{x}\)	Две кривые (не проходит через 0)
Показательная	\(y = a^x\)	Кривая выше Ox (рост/спад)

```mermaid
graph LR
  A[Построение графика] --> B[1. Найти область определения]
  B --> C[2. Составить таблицу значений]
  C --> D[3. Отметить точки на плоскости]
  D --> E[4. Соединить плавной линией]
```

3. Обратные функции

Функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны, если:
\(f(g(x)) = x\) и \(g(f(x)) = x\)

Как найти обратную функцию:

Решить уравнение \(y = f(x)\) относительно \(x\)
Поменять \(x\) и \(y\) местами

Пример:
\(y = 2x + 1\) → \(x = \frac{y-1}{2}\) → обратная: \(y = \frac{x-1}{2}\)

Графики: Симметричны относительно прямой \(y = x\)

4. Чётные и нечётные функции

Свойство	Определение	Примеры	График
Чётная	\(f(-x) = f(x)\)	\(y = x^2\), \(y = \cos x\)	Симметричен относительно Oy
Нечётная	\(f(-x) = -f(x)\)	\(y = x^3\), \(y = \sin x\)	Симметричен относительно (0;0)

```mermaid
graph TD
  A[Дана f-x] --> B{Вычислить f--x}
  B -->|f--x = f-x| C[Чётная]
  B -->|f--x = -f-x| D[Нечётная]
  B -->|Иначе| E[Общего вида]
```

5. Периодические функции

Периодическая функция — повторяет значения через период \(T \neq 0\):
\(f(x + T) = f(x)\)

Примеры:

\(y = \sin x\) (период \(2\pi\))
\(y = \tan x\) (период \(\pi\))
\(y = \{x\}\) (дробная часть, период 1)

Свойства:

Если \(T\) — период, то \(nT\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) тоже период
График повторяется на каждом периоде

6. Сводная таблица свойств

Свойство	Условие	Пример
Область определения	Множество допустимых \(x\)	Для \(y=\sqrt{x}\): \(x \geq 0\)
Область значений	Множество возможных \(y\)	Для \(y=x^2\): \([0; +\infty)\)
Нули функции	\(f(x) = 0\)	Для \(y=x^2-4\): \(x = \pm 2\)

7. Как запомнить?

🔷 Чётная — «зеркало» относительно оси Y (\(y = x^2\) — как шапка)
🌀 Нечётная — «поворот» на 180° (\(y = x^3\) — как змейка)
⏱️ Период — «сердцебиение» графика (равные удары)

Важно для ЕГЭ: Проверяйте область определения перед построением графика!

Теория к ЕГЭ: Функции и их свойства