Теория к ЕГЭ: Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
Простыми словами для 10-11 класса.
1. Что такое матрица системы?
Матрица — это таблица чисел, составленная из коэффициентов системы уравнений.
Пример системы:
\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)
Матрица системы:
\[
A = \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{pmatrix}
\]
2. Определитель матрицы (детерминант)
Определитель — число, вычисляемое по элементам матрицы. Обозначается \(|A|\) или \(\det A\).
Для матрицы 2×2:
\[ |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d — b \cdot c \]Схема:
Главная диагональ: a∙d Побочная диагональ: b∙c Определитель = Главная - Побочная
Для матрицы 3×3:
\[ |A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) \]Мнемоника «Прямые — Обратные»:
1. Дописываем два первых столбца справа:
a b c | a b
d e f | d e
g h i | g h
2. Прямые диагонали (сумма произведений):
(a•e•i) + (b•f•g) + (c•d•h)
3. Обратные диагонали (сумма произведений):
(c•e•g) + (a•f•h) + (b•d•i)
4. Определитель = Прямые - Обратные
3. Правило Крамера для решения систем
Если \(|A| \neq 0\), система имеет единственное решение:
- Для системы 2×2:
\[ x = \frac{\Delta_x}{|A|}, \quad y = \frac{\Delta_y}{|A|} \]
где \(\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}\), \(\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}\)
Пример:
\(\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x — y = 6 \end{cases}\)
1. \(|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) — 3 \cdot 4 = -14\)
2. \(\Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} = -26\)
3. \(\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -20\)
4. \(x = \frac{-26}{-14} = \frac{13}{7}, \quad y = \frac{-20}{-14} = \frac{10}{7}\)
4. Когда система не имеет решений?
- Если \(|A| = 0\), а \(\Delta_x \neq 0\) (или \(\Delta_y \neq 0\)) → нет решений.
- Если \(|A| = 0\) и все \(\Delta = 0\) → бесконечно много решений.
5. Таблица свойств определителя
| Свойство | Пояснение | Пример |
|---|---|---|
| Строки пропорциональны | \(|A| = 0\) | \(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 0\) |
| Перестановка строк | \(|A|\) меняет знак | \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\) |
| Общий множитель | Можно вынести | \(\begin{vmatrix} 2a & 2b \\ c & d \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\) |
6. Схема решения систем матричным методом
```mermaid
graph TD
A[Система уравнений] --> B{Вычисляем |A|}
B -->|det A ≠ 0| C[Решаем по Крамеру]
B -->|det A = 0| D{Проверяем Δ_x, Δ_y}
D -->|Хотя бы один ≠ 0| E[Нет решений]
D -->|Все Δ = 0| F[Бесконечно решений]
```7. Частые ошибки
- Путают \(\Delta_x\) и \(\Delta_y\) (меняют столбцы местами).
- Забывают проверить \(|A| = 0\) перед применением Крамера.
- Ошибки в знаках при вычислении определителя 3×3.
- Не учитывают, что при перемене строк местами определитель меняет знак.
8. Вывод
- Матрица — удобный инструмент для работы с системами.
- Определитель помогает определить тип решения.
- Правило Крамера работает только если \(|A| \neq 0\).
📝 Запомните!
Для матрицы 3×3 используйте мнемонику «Прямые — Обратные»:
Прямые диагонали: a•e•i + b•f•g + c•d•h Обратные диагонали: c•e•g + a•f•h + b•d•i Определитель = Прямые - Обратные