Теоретические основы информатики: теория для ЕГЭ
📚 Ключевые понятия
Информация
Сведения об окружающем мире, которые уменьшают неопределенность знаний
Бит
Минимальная единица измерения информации (0 или 1)
Система счисления
Способ записи чисел с помощью определенных символов (цифр)
Алгоритм
Конечная последовательность точных инструкций для решения задачи
Программа
Алгоритм, записанный на языке программирования
🧮 Основные формулы
Формула Хартли
\(N = 2^i\) или \(i = \log_2 N\)
где \(N\) — количество равновероятных событий, \(i\) — количество информации в битах
Формула Шеннона
\(I = -\sum_{i=1}^{N} p_i \log_2 p_i\)
где \(p_i\) — вероятность i-го события
Объем информации
\(V = K \cdot i\)
где \(K\) — количество символов, \(i\) — информационный вес одного символа
Перевод между системами счисления
\(a_n a_{n-1} … a_1 a_0 = a_n \cdot q^n + a_{n-1} \cdot q^{n-1} + … + a_1 \cdot q^1 + a_0 \cdot q^0\)
где \(q\) — основание системы счисления
🔢 Системы счисления
Двоичная система (основание 2)
Использует цифры: 0, 1
Пример: \(1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 11_{10}\)
Восьмеричная система (основание 8)
Использует цифры: 0-7
Пример: \(75_8 = 7 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 61_{10}\)
Шестнадцатеричная система (основание 16)
Использует цифры: 0-9, A-F
Пример: \(A3_{16} = 10 \cdot 16^1 + 3 \cdot 16^0 = 163_{10}\)
Таблица соответствия систем счисления
| Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
💾 Кодирование информации
Кодирование текста
ASCII: 1 символ = 1 байт (256 возможных символов)
Unicode: 1 символ = 1-4 байта (более 1 млн возможных символов)
Кодирование изображений
Растровая графика: пиксельная сетка, каждый пиксель имеет цвет
Векторная графика: математическое описание геометрических фигур
Кодирование звука
Аналого-цифровое преобразование: дискретизация + квантование
Частота дискретизации: количество измерений в секунду (Гц)
Формула объема растрового изображения
\(V = K \cdot i\)
где \(K\) — количество пикселей, \(i\) — глубина цвета (бит на пиксель)
🔍 Примеры заданий ЕГЭ
Пример 1: Перевод между системами счисления
Задание: Переведите число \(101101_2\) в десятичную систему счисления.
Решение:
\(101101_2 = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45_{10}\)
Ответ: \(45_{10}\)
Пример 2: Расчет количества информации
Задание: Сообщение содержит 4096 символов. Объем сообщения — 4 Кбайт. Какова мощность алфавита?
Решение:
1. Переведем объем в биты: \(4 \text{ Кбайт} = 4 \cdot 1024 \cdot 8 = 32768 \text{ бит}\)
2. Найдем информационный вес одного символа: \(i = \frac{32768}{4096} = 8 \text{ бит}\)
3. Найдем мощность алфавита: \(N = 2^8 = 256\)
Ответ: 256 символов
Пример 3: Кодирование изображения
Задание: Рассчитайте объем растрового изображения размером 1024×768 пикселей с палитрой 256 цветов.
Решение:
1. Найдем глубину цвета: \(N = 256 = 2^8\), значит \(i = 8 \text{ бит} = 1 \text{ байт}\)
2. Найдем количество пикселей: \(K = 1024 \cdot 768 = 786432\)
3. Найдем объем: \(V = K \cdot i = 786432 \cdot 1 = 786432 \text{ байт} = 768 \text{ Кбайт}\)
Ответ: 768 Кбайт
Пример 4: Логические выражения
Задание: Упростите логическое выражение: \(\neg (A \lor B) \land (A \lor \neg B)\)
Решение:
1. Применим закон де Моргана: \(\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B\)
2. Подставим: \((\neg A \land \neg B) \land (A \lor \neg B)\)
3. Распределим: \((\neg A \land \neg B \land A) \lor (\neg A \land \neg B \land \neg B) = 0 \lor (\neg A \land \neg B) = \neg A \land \neg B\)
Ответ: \(\neg A \land \neg B\)