2.3 Системы счисления. Развёрнутая запись целых и дробных чисел в позиционной системе счисления. Свойства позиционной записи числа: количество цифр в записи, признак делимости числа на основание системы счисления. Алгоритм перевода целого числа из P-ичной системы счисления в десятичную. Алгоритм перевода конечной P-ичной дроби в десятичную. Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в P-ичную. Перевод конечной десятичной дроби вP-ичную. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, связь между ними.Арифметические операции в позиционныхсистемах счисления

1. Основные понятия

Система счисления — способ записи чисел с помощью символов.

Основные системы:

2. Развёрнутая запись числа

Формула для целой части:

$$ N_{10} = a_n \times P^n + \cdots + a_1 \times P^1 + a_0 \times P^0 $$

Формула для дробной части:

$$ N_{10} = a_{-1} \times P^{-1} + a_{-2} \times P^{-2} + \cdots $$

Пример для 101.11₂:

$$ 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 + 1×2^{-1} + 1×2^{-2} = 5.75₁₀ $$

3. Свойства позиционных систем

1. Количество цифр: Равно основанию P
2. Делимость на P: Число делится на P, если последняя цифра = 0

Пример:

120₈ делится на 8 (оканчивается на 0)

4. Алгоритмы перевода

Из P-ичной в десятичную:

graph LR
A[A] -- 10×16² --> R1[2560]
B[3] -- 3×16¹ --> R2[48]
C[F] -- 15×16⁰ --> R3[15]
R1 --> SUM[2560+48+15=2623]

Из десятичной в P-ичную (целые):

flowchart TD
A[123] --÷8--> Q1[15] --остаток--> R1[3]
Q1 --÷8--> Q2[1] --остаток--> R2[7]
Q2 --÷8--> Q3[0] --остаток--> R3[1]
R3 --> R2 --> R1 --> Result[173₈]

Дробей из десятичной в P-ичную:

0.625 × 2 = 1.25 → 1
0.25  × 2 = 0.5  → 0
0.5   × 2 = 1.0  → 1
Результат: 0.101₂

5. Связь между 2-8-16 системами

Таблица соответствия:

Пример перевода 10101101₂ → 16:

1010 (A) + 1101 (D) = AD₁₆

6. Арифметические операции

Сложение в двоичной системе:

  1011₂
+ 1101₂
--------
 11000₂

Правила сложения:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 1 = 10₂ (перенос 1)
• 1 + 1 + 1 = 11₂ (перенос 1)

Умножение в восьмеричной:

graph LR
A[12₈] -->|×| B[5₈]
B --> C[12×5=62₈]